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Punjab State Board PSEB 11th Class Chemistry Book Solutions Chapter 1 Some Basic Concepts of Chemistry Important Questions and Answers.

PSEB 11th Class Chemistry Important Questions Chapter 1 Some Basic Concepts of Chemistry

Very Short Answer Type Questions

Question 1.
A liquid has a volume of 49.0 cm³ and a mass of 57.642 g. Find out the density of this liquid in SI unit.
Answer:
Density = \(\frac{\text { Mass }(\mathrm{kg})}{\text { Volume }\left(\mathrm{m}^{3}\right)}\)
Mass = 57.642 g = 57.642 x 10^-3 kg
Volume = 49.0 cm³ = 49.0 x (10^-3)³ = 49.0 x 10^-6 m³
∴ Density = \(\frac{57.642 \times 10^{-3}}{49.0 \times 10^{-6}}\) = 1.176 x 10³ kg/m³

Question 2.
Convert the following temperatures into degree Fahrenheit,
(i) 25°C, physiological (human body) temperature.
(ii) 35°C, the room temperature.
Answer:
(i) Given
C = 25 °C
°F = \(\frac{9}{5}\) °C + 32 = \(\frac{9}{5}\) x 25 + 32 = 45 + 32 = 77°F

(ii) Given, C = 35 °C
°F = \(\frac{9}{5}\) °C + 32 = \(\frac{9}{5}\) x 35 + 32 = 63 + 32 = 95°F

Question 3.
What is the mass (in grams) of a copper block whose dimensions are 5.0 inch x 6.0 inch and whose density is 8.96 g/cm³? Given that 1 inch = 2.54 cm
Answer:
Here, unit conversion factors are 1 = \(\frac{2.54 \mathrm{~cm}}{1 \text { inch }}=\frac{1 \text { inch }}{2.54 \mathrm{~cm}}\)
Hence, required mass (in g) = 5.0 inch x 6.0 inch x 4.0 inch
\(\) = 1.76 x 10⁴ g.

Question 4.
If 6.3 g of NaHCO₃ are added to 15.0 g of CH₃COOH solution, the residue is found to weigh 18.0 g. What is the mass of CO₂ released in the reaction?
Answer:

Sum of the masses of reactants = 6.3 + 15 = 21.3 g
Sum of the masses of products = x + 18
21.3 = x +18; x = 21.3 – 18 = 3.3 g
Thus, the mass of the C02 released is 3.3 g.

Question 5.
Why is the law of Gay Lussac’s not obeyed if any reactant or product is not a gas?
Answer:
If any reactant or product is a liquid or solid, the volume occupied by them is extremely small as compared to the gas and hence, the law is not obeyed.

Question 6.
Calculate the normality of solution containing 62.3 g of hydrated copper sulphate (CuSO₄ . 5H₂O) in 500 mL of solution.
Answer:
Mass of solute = 62.3 g
Equivalent mass of oxalic acid = \(\frac{249.5}{2}\) = 124.75 g
Gram equivalents of oxalic acid = \(\frac{62.3}{124.75}\) = 0.5
Volume of solution = 500 mL
Normality = \(\frac{0.5}{500}\) x 1000 = 1N

Question 7.
What is the difference between molality and molarity?
Answer:
Molality : It is defined as the number of moles of solute dissolved in 1 kg of solvent. It is independent of temperature. ,
Molarity : It is defined as the number of moles of solute dissolved in 1 L of solution. It depends upon temperature because, volume of solution °c temperature.

Question 8.
How is the term material different from matter?
Answer:
Anything which has mass and occupies space is called matter. However, material corresponds to the matter which has specific use.

Question 9.
Why are the atomic masses of most of the elements fractional?
Answer:
It is because most of the elements occur in nature as a mixture of isotopes and their atomic masses are the average relative atomic masses of the isotopes depending on their abundance.

Question 10.
Volume of a solution changes with change in temperature, then, will the molality of the solution be affected by temperature? Give reason for your answer.
Answer:
No, molality of solution does not change with temperature since mass remains unaffected with temperature.

Short Answer Type Questions

Question 1.
Express the following in the scientific notation.
(i) 0.000968
(ii) 157428
(iii) 90,000
(iv) (5.7 x 10⁶) x (4.2 x 10^-2)
(v) (6.8 x 10^-9) + (1.4 x 10^-6)
(vi) (456 x 10³ + 2.62 x 10²)
(vii) (9.87 x 10^-3 – 2.26 x 10^-4)
Answer:
(i) 0.000968 = 9.68 x 10^-4
(ii) 157428 = 1.57428 x 10⁵
(iii) 90,000 = 9 x 10⁴

(iv) (5.7 x 10⁶)x (4.2 x 10^-2) = (5.7 x 4.2)(10^6-2)
= 23.94 x 10⁴ =2.394 x 10⁵
(v) (6.8 x 10^-9) ÷ (1.4 x 10^-6) = x (10^-9-(-6)) = 4.857 x 10^-3
(vi) (4.56 x 10³ + 2.62 x 10²)= 45.6 x 10² + 2.62 x 10²
=(45.6 +2.62) x 10²
= 48.22 x 10²
= 4.822 x 10³
(vii) (9.87 x 10^-3 – 2.26 x 10^-4) = 9.87 x 10^-3 – 0.226 x 10^-3
= (9.87 – 0.226) x 10^-3 = 9.644 x 10^-3

Question 2.
The percentage composition of elements in NH3, H20, and N20 3 is given below. –
NH₃ → 82.35% N and 17.65% H
H₂O → 88.90% O and 11.10% H
N₂O₃ → 6a 15% O and 36.85% N
Show that these data are in accordance with the law of reciprocal proportion.
Answer:
(i) In NH₃, 1 part of H reacts with = \(\) = 4.67 part of N
(ii) In H₂O, 1 part of H reacts with = \(\) = 8.01 part of O
Thus, the ratio N : O :: 4.67 : 8.01 = 1 :1.72
(iii) In N₂O₃, N and O reacts with each other in the ratio N : O :: 36.85: 63.15 = 1 :1.71.
Thus, the two ratios are the same. Hence, it illustrates the law of reciprocal proportions.

Question 3.
A solution contains 25% water, 25% ethanol and 50% acetic acid by mass. Calculate the mole fraction of each component.
Answer:
Let the total mass of solution = 100 g
Mass of water = 25 g, Mass of ethanol = 25 g
Mass of acetic acid = 50 g
Moles of water = \(\frac{25}{18}\) = 1.388 (∵ Molar mass of H₂O= 18)
Moles of ethanol = \(\frac{25}{46}\) = 0.543 (∵ Molar mass of C₂H₅OH = 18)
Moles of acetic acid = \(\frac{50}{60}\) = 0.833 (∵ Molar mass of CH₃COOH = 18)
Total number of moles = 1.388 + 0.543 + 0.833 = 2.764
Mole fraction of water = \(\frac{1.388}{2.764}\) = 0.502
Mole fraction of ethanol = \(\frac{0.543}{2.764}\) = 0.196
Mole fraction of acetic acid = \(\frac{0.833}{2.764}\) = 0.302

Question 4.
Calculate the molality of a solution containing 20.7 g potassium carbonate dissolved in 500 mL of solution (assume density of solution = 1 g mL^-2).
Mass of K₂CO₃ = 20.7 g
Molar mass of K₂CO₃ = 2 x 39 + 12 + 3 x 16 = 138 mol^-1
Moles of K₂CO₃ = \(\frac{20.7}{138}\) = 0.15 .
Mass of solution = (500 mL) x (1 g mL^-1) = 500 g
Amount of water = 500 – 20.7 = 479.3 g
Molality = \(\frac{Moles of solute}
{Mass of solvent in gram}\) x 100
= \(\frac{0.15}{479.3}\) x 1000 = 0.313 mx`

Question 5.
45.4 L of dinitrogen reacted with 22.7 L of dioxygen and 45.4 L of nitrous oxide was formed. The reaction is given below 2N₂(g) + O₂(g) → 2N₂O(g)
Which law is being obeyed in this experiment? Write the statement of the law. [NCERT Exemplar]
Answer:

Hence, the ratio between the volumes of the reactants and the product in the given question is simple i.e., 2:1:2. It proves the Gay-Lussac’s law of gaseous volumes.
Gay-Lussac’s law of gaseous volumes : The law of combining volume states that when gases react together to form other gases, and when all volumes are measured at the same temperature and pressure, the ratio between the volumes of the gaseous reactants and products can be expressed in simple whole numbers.

Long Answer Type Questions

Question 1.
Copper oxide was prepared by the following methods.
(i) In first case, 1.75 g of the metal was dissolved in nitric acid and igniting the residual copper nitrate yielded 2.19 g of copper oxide.
(ii) In the second case, 1.14 g of metal dissolved in nitric acid were precipitated as copper hydroxide by adding caustic alkali solution. The precipitated copper hydroxide after washing, drying and heating yielded 1.43 g of copper oxide.
(iii) In the third case, 1.46 g of copper when strongly heated in a current of air yielded 1.83 g of copper oxide. Show that the given data illustrate the law of definite composition.
Answer:
Step I and II In the first experiment,
2.19 g of copper oxide contained 1.75 g of Cu.
∴ 100 g of copper oxide contained Cu
i.e., %ofCu = 79.91

In the second experiment,
1.43 g of copper oxide contained 1.14 g copper.
∴ 100 g of copper oxide contained Cu = \(\frac{1.14}{1.43}\) x 100 = 79.72 g,
i.e„ % of Cu = 79.72

In the third experiment,
1.83 g of copper oxide contained 1.46 g of copper
∴ 100 g of copper oxide contained Cu = \(\frac{1.46}{1.83}\) x 100 = 79.78g.
i.e., % of Cu = 79.78
Step III The percentage of copper in copper oxide derived from all the three experiments is nearly the same. Hence, the above data illustrate the law of definite composition.

Question 2.
Three oxides of nitrogen contained 63.6%, 46.7% and 30.4% nitrogen respectively. Show that these figures illustrate the law of multiple proportions.
Answer:
In case first,
Step I The oxide of nitrogen contains 63.6% N ‘ i.e., 63.6 g of N reacts with (100 – 63.6) g of O = 36.4 g of O.
Step II ∴ 1 g of N will react with \(\frac{36.4}{63.6}\) g of O = 0.57 g of O.

In case second,
Step I The oxide of nitrogen contains 46.7% N
i.e., 46.7 g of N reacts with (100 – 46.7) g of O = 53.3 g of O.

In case third,
Step I The oxide of nitrogen contains 30.4% N
i.e., 30.4 g of N reacts with (100 – 30.4) g of O = 69.6 g of O.
Step II ∴ 1 g of N will react with \(\frac{69.6}{30.4}\) of O = 2.26 g of O

Step III This means the ratio of the masses of oxygen which combine with 1 g of nitrogen is 0.57 : 1.14 : 2.26, i.e., 1: 2 : 4 is obviously in accordance with the law of multiple proportions.

Punjab State Board PSEB 12th Class Maths Book Solutions Chapter 2 Inverse Trigonometric Functions Miscellaneous Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 12 Maths Chapter 2 Inverse Trigonometric Functions Miscellaneous Exercise

Find the value of the following :

Question 1.
cos^-1 (cos \(\frac{13 \pi}{6}\)).
Solution.
We know that cos^-1(cos x) = x if x ∈ [0, π], which is the principal value of cos^-1 x.
Here, \(\frac{13 \pi}{6}\) ∉ [0, π].
Now, cos^-1 (cos \(\frac{13 \pi}{6}\)) can be written as
cos^-1 (cos \(\frac{13 \pi}{6}\)) = cos^-1 [cos (2π + \(\frac{pi}{6}\))]
= cos^-1 [cos (\(\frac{pi}{6}\))],
where \(\frac{pi}{6}\) ∈ [0, π]
[∵ cos(2π + x) = cos x]
∴ cos^-1 (cos \(\frac{13 \pi}{6}\)) = cos^-1 [cos (\(\frac{pi}{6}\))]
= \(\frac{pi}{6}\).

Question 2.
tan^-1 (tan \(\frac{7 \pi}{6}\))
Solution.
We know that tan^-1(tan x) = x if x ∈ (\(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\)) which is the principal value of cos^-1 x.
Here, \(\frac{7 \pi}{6}\) ∉ (\(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\))
Now, tan^-1 (tan \(\frac{7 \pi}{6}\)) can be written as
tan^-1 (tan \(\frac{7 \pi}{6}\)) = tan^-1 (tan (π + \(\frac{\pi}{6}\)))
= tan^-1 [tan (\(\frac{\pi}{6}\))]
where \(\frac{pi}{6}\) ∈ (\(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\))
[∵ tan(π + x) = tan x]
∴ tan^-1 (tan \(\frac{7 \pi}{6}\)) = tan^-1 [tan (\(\frac{\pi}{6}\))]
= \(\frac{pi}{6}\)

Prove that

Question 3.
2 sin^-1 \(\frac{3}{5}\) = tan^-1 \(\frac{24}{7}\).
Solution.
Let sin^-1 \(\frac{3}{5}\) = x.
Then, sin x = \(\frac{3}{5}\)
⇒ cos x = \(\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{25-9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}\)
∴ tan x = \(\frac{3 / 5}{4 / 5}=\frac{3}{4}\)
∴ x = tan^-1 \(\frac{3}{4}\)
⇒ sin^-1 \(\frac{3}{5}\) = tan^-1 \(\frac{3}{4}\)
Now, we have
L.H.S = 2 sin^-1 \(\frac{3}{5}\) = 2 tan^-1 \(\frac{3}{4}\)
= tan^-1 \(\left(\frac{2 \times \frac{3}{4}}{1-\left(\frac{3}{4}\right)^{2}}\right)\)

[∵ 2 tan^-1 x = tan^-1 \(\frac{2 x}{1-x^{2}}\)]

= tan^-1 \(\left(\frac{\frac{3}{2}}{\frac{16-9}{16}}\right)\)

= tan^-1 \(\left(\frac{3}{2} \times \frac{16}{7}\right)\)

= tan^-1 \(\frac{24}{7}\)

= R.H.S.
Hence proved.

Question 4.
sin^-1 \(\frac{8}{17}\) + sin^-1 \(\frac{3}{5}\) = tan^-1 \(\frac{77}{36}\)
solution.
Let sin^-1 \(\frac{8}{17}\) = x.
Then, sin x = \(\frac{8}{17}\)
⇒ cos x = \(\sqrt{1-\left(\frac{8}{17}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{289}}=\frac{15}{17}\)
∴ tan x = \(\frac{8 / 17}{15 / 17}=\frac{8}{15}\)
⇒ x = tan^-1 \(\frac{8}{15}\)
∴ sin^-1 \(\frac{8}{17}\) = tan^-1 \(\frac{8}{15}\) …………..(i)

Now, let sin^-1 \(\frac{3}{5}\) = y.
Then, sin y = \(\frac{3}{5}\)
⇒ cos y = \(\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}\)
∴ tan y = \(\frac{3 / 5}{4 / 5}=\frac{3}{4}\)
⇒ y = tan^-1 \(\frac{3}{4}\)
∴ sin^-1 \(\frac{3}{5}\) = tan^-1 \(\frac{3}{4}\) …………..(ii)

Now, we have
L.H.S = sin^-1 \(\frac{8}{17}\) + sin^-1 \(\frac{3}{5}\)
[Using Eqs. (i) and (ii)]
= tan^-1 \(\frac{8}{15}\) + tan^-1 \(\frac{3}{4}\)
= tan^-1 \(\frac{\frac{8}{15}+\frac{3}{4}}{1-\frac{8}{15} \times \frac{3}{4}}\)
= tan^-1 \(\left(\frac{32+45}{60-24}\right)\)
[tan^-1 x + tan^-1 y = tan^-1 \(\left(\frac{x+y}{1-x y}\right)\)]
= tan^-1 \(\frac{77}{36}\)
= R.H.S
Hence proved.

Question 5.
cos^-1 \(\frac{4}{5}\) + cos^-1 \(\frac{12}{13}\) = cos^-1 \(\frac{33}{65}\)
Solution.
Let cos^-1 \(\frac{4}{5}\) = x
Then, cos x = \(\frac{4}{5}\)
⇒ sin x = \(\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}\)
∴ tan x = \(\frac{3 / 5}{4 / 5}=\frac{3}{4}\) …………(i)

⇒ x = tan^-1 \(\frac{3}{4}\)
Now, let cos^-1 \(\frac{12}{13}\) = y.
Then cos y = \(\frac{12}{13}\)
⇒ sin y = \(\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{169}}=\frac{5}{13}\)
∴ tan y = \(\frac{5 / 13}{12 / 13}=\frac{5}{12}\)
⇒ y = tan^-1 \(\frac{5}{12}\)
∴ cos^-1 \(\frac{12}{13}\) = tan^-1 \(\frac{5}{12}\) ……………(ii)

Let cos^-1 \(\frac{33}{65}\) = z.
Then, cos z = \(\frac{33}{65}\)
⇒ sin z = \(\sqrt{1-\left(\frac{33}{65}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3136}{4225}}=\frac{56}{65}\)
∴ tan z = \(\frac{56 / 65}{33 / 65}=\frac{56}{33}\)
⇒ z = tan^-1 \(\frac{56}{33}\)
∴ cos^-1 \(\frac{33}{65}\) = tan^-1 \(\frac{56}{33}\) …………..(iii)

Now, we have
L.H.S = cos^-1 \(\frac{4}{5}\) + cos^-1 \(\frac{12}{13}\)
= \(\frac{3 / 5}{4 / 5}=\frac{3}{4}\) + tan^-1 \(\frac{5}{12}\)
[∵ Usin Eqs. (i) and (ii)]
= tan^-1 \(\frac{\frac{3}{4}+\frac{5}{12}}{1-\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{12}}\)
[∵ tan^-1 x + tan^-1 y = tan^-1 \(\left(\frac{x+y}{1-x y}\right)\)]
= tan^-1 \(\frac{36+20}{48-15}\)
= tan^-1 \(\frac{56}{33}\)
= cos^-1 \(\frac{33}{65}\) = R.H.S.
Hence proved.

Question 6.
cos^-1 \(\frac{12}{13}\) + sin^-1 \(\frac{3}{5}\) = sin^-1 \(\frac{56}{65}\)
Solution.
Let sin^-1 \(\frac{3}{5}\) = x.
Then, sin x = \(\frac{3}{5}\)
⇒ cos x= \(\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}\)
∴ tan x = \(\frac{3 / 5}{4 / 5}=\frac{3}{4}\)
⇒ x = tan^-1 \(\frac{3}{4}\)
∴ sin^-1 \(\frac{3}{5}\) = tan^-1 \(\frac{3}{4}\) …………(i)

Now, let cos^-1 \(\frac{12}{13}\) = y.
Then, cos y = \(\frac{12}{13}\)
⇒ sin y = \(\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{169}}=\frac{5}{13}\)
∴ tan y = \(\frac{5 / 13}{12 / 13}=\frac{5}{12}\)
⇒ y = tan^-1 \(\frac{5}{12}\)
∴ cos^-1 \(\frac{12}{13}\) = tan^-1 \(\frac{5}{12}\) ………………(ii)

Let sin^-1 \(\frac{56}{65}\) = z.
Then, sin z = \(\frac{56}{65}\)
⇒ cos z = \(\sqrt{1-\left(\frac{56}{65}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1089}{4225}}=\frac{33}{65}\)
∴ tan z = \(\frac{56 / 65}{33 / 65}=\frac{56}{33}\)
⇒ z = tan^-1 \(\frac{56}{33}\)
∴ sin^-1 \(\frac{56}{65}\) = tan^-1 \(\frac{56}{33}\) …………….(iii)

Now, we have
L.H.S. = cos^-1 \(\frac{12}{13}\) + sin^-1 \(\frac{3}{5}\)
= tan^-1 \(\frac{3}{4}\) + tan^-1 \(\frac{5}{12}\)
[Using Eqs. (i) and (ii)]
= tan^-1 \(\frac{\frac{5}{12}+\frac{3}{4}}{1-\frac{5}{12} \cdot \frac{3}{4}}\)

[∵ tan^-1 x + tan^-1 y = tan^-1 \(\left(\frac{x+y}{1-x y}\right)\)]
= tan^-1 \(\frac{20+36}{48-15}\)
= tan^-1 \(\frac{56}{33}\)
= sin^-1 \(\frac{56}{65}\).
Hence proved.

Question 7.
tan^-1 \(\frac{63}{16}\) = sin^-1 \(\frac{5}{13}\) + cos ^-1 \(\frac{3}{5}\)
Solution.
Let sin^-1 \(\frac{5}{13}\) = x
Then, sin x = \(\frac{5}{13}\)
⇒ cos x = \(\sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}\)
∴ tan x = \(\frac{5 / 13}{12 / 13}=\frac{5}{12}\)
⇒ x = tan^-1 \(\frac{5}{12}\)
∴ sin^-1 \(\frac{5}{13}\) = tan^-1 \(\frac{5}{12}\) ………….(i)

Let cos^-1 \(\frac{3}{5}\) = y.
Then, cos y = \(\frac{3}{5}\)
⇒ sin y = \(\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}\)
∴ tan y = \(\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}\)
⇒ y = tan^-1 \(\frac{4}{5}\)
∴ cos^-1 \(\frac{3}{5}\) = tan^-1 \(\frac{4}{5}\) ………………(ii)

Using Eqs. (i) and (ii), we have
R.H.S = sin^-1 \(\frac{5}{13}\) + cos^-1 \(\frac{3}{5}\)
= tan^-1 \(\frac{5}{12}\) + tan^-1 \(\frac{4}{5}\)
[∵ tan^-1 x + tan^-1 y = tan^-1 \(\left(\frac{x+y}{1-x y}\right)\)]
= tan^-1 \(\left(\frac{\frac{5}{12}+\frac{4}{3}}{1-\frac{5}{12} \times \frac{4}{3}}\right)\)

= tan^-1 \(\left(\frac{15+48}{36-20}\right)\)

= tan^-1 \(\frac{63}{16}\) = L.H.S.
Hence proved.

Question 8.
tan^-1 \(\frac{1}{5}\) + tan^-1 \(\frac{1}{7}\) + tan^-1 \(\frac{1}{3}\) + tan^-1 \(\frac{1}{8}\) = \(\frac{\pi}{4}\)
Solution.
tan^-1 \(\frac{1}{5}\) + tan^-1 \(\frac{1}{7}\) + tan^-1 \(\frac{1}{3}\) + tan^-1 \(\frac{1}{8}\)

Question 9.
tan^-1 √x = \(\frac{1}{2}\) cos^-1 \(\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\), x ∈ [0, 1]
Solution.
Let x = tan² θ.
Then, √x = tan θ
⇒ θ = tan^-1 √x
∴ \(\frac{1-x}{1+x}=\frac{1-\tan ^{2} \theta}{1+\tan ^{2} \theta}\) = cos 2θ
[∵ cos 2θ = \(\frac{1-\tan ^{2} \theta}{1+\tan ^{2} \theta}\)]
Now, we have
R.H.S = \(\frac{1}{2}\) cos^-1 \(\left(\frac{1-x}{1+x}\right)\)
= \(\frac{1}{2}\) cos^-1 2θ = θ
= tan^-1 √x = L.H.S
Hence Proved.

Question 10.
cot^-1 \(\left(\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}\right)=\frac{x}{2}\), x ∈ (0, \(\frac{\pi}{4}\))
Solution.
Consider, \(\left(\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}\right)\)

= \(\frac{(\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x})^{2}}{(\sqrt{1+\sin x})^{2}-(\sqrt{1-\sin x})^{2}}\) (By rationalising)

= \(\frac{(1+\sin x)+(1-\sin x)+2 \sqrt{(1+\sin x)(1-\sin x)}}{1+\sin x-1+\sin x}\)

= \(\frac{2\left(1+\sqrt{\left.1-\sin ^{2} x\right)}\right.}{2 \sin x}=\frac{1+\cos x}{\sin x}=\frac{2 \cos ^{2} \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}\)

= cot \(\frac{x}{2}\)

L.H.S = cot^-1 \(\left(\frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}\right)\)

= cot^-1 (cot \(\frac{x}{2}\))
= \(\frac{x}{2}\) = R.H.S

Question 11.
tan^-1 \(\left(\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}\right)\) = \(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2} \cos ^{-1} x\), \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\) ≤ x ≤ 1.
[Hint: put x = cos 2θ]
Solution.
Put x = cos 2θ, so that θ = \(\frac{1}{2}\) cos^-1 x.
Then, we have

Question 12.
\(\frac{9 \pi}{8}-\frac{9}{4} \sin ^{-1} \frac{1}{3}=\frac{9}{4} \sin ^{-1} \frac{2 \sqrt{2}}{3}\)
Solution.
L.H.S = \(\frac{9 \pi}{8}-\frac{9}{4} \sin ^{-1} \frac{1}{3}\)

= \(\frac{9}{4}\left(\frac{\pi}{2}-\sin ^{-1} \frac{1}{3}\right)\)

= \(=\frac{9}{4}\left(\cos ^{-1} \frac{1}{3}\right)\) [∵ sin^-1 x + cos^-1 x = \(\frac{\pi}{2}\)]

= \(\frac{9}{4}\left(\sin ^{-1} \sqrt{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{2}}\right)\)
[∵ cos^-1 x = sin^-1 \(\sqrt{1-x^{2}}\)]

= \(\frac{9}{4} \sin ^{-1} \sqrt{\frac{8}{9}}\)

= \(\frac{9}{4} \sin ^{-1} \frac{2 \sqrt{2}}{3}\)

= R.H.S
Hence proved.

Direction (13 – 17): Solve the following equations.

Question 13.
2 tan^-1 (cos x) = tan^-1 (2cosec x)
Solution.
We have, 2 tan^-1 (cos x) = tan^-1 (2 cosec x)
⇒ tan^-1 \(\left(\frac{2 \cos x}{1-\cos ^{2} x}\right)\) = tan^-1 (2 cosec x)

[∵ 2 tan^-1 x = tan^-1 \(\frac{(2 x)}{1-x^{2}}\)]

⇒ \(\left(\frac{2 \cos x}{1-\cos ^{2} x}\right)\) = 2 cosec x

⇒ \(\frac{2 \cos x}{\sin ^{2} x}=\frac{2}{\sin x}\)

⇒cos x = sin x

⇒ tan x = 1 = tan \(\frac{\pi}{4}\).

Question 14.
tan^-1 \(\frac{1-x}{1+x}\) = \(\frac{1}{2}\) tan^-1 x, (x > 0)
Solution.
We have, sin^-1 (1 – x) – 2 sin^-1 x = \(\frac{\pi}{2}\)
⇒ – 2 sin^-1 x = \(\frac{\pi}{2}\) – sin^-1 (1 – x)
⇒ – 2 sin^-1 x = cos^-1 (1 – x) ………….(i)
Let sin^-1 x = θ
⇒ sin θ = x
⇒ cos θ = \(\sqrt{1-x^{2}}\)
∴ θ = cos^-1 \(\sqrt{1-x^{2}}\)
∴ sin^-1 x = cos^-1 \(\sqrt{1-x^{2}}\)
Therefore, from Eq. (i), we have
– 2 cos^-1 (\(\sqrt{1-x^{2}}\) ) = cos^-1 (1 – x)
Put x = sin y. Then, we have
– 2 cos^-1 (\(\)) = cos^-1 (1 – sin y)
⇒ – 2 cos^-1 (cos y) = cos^-1 (1 – sin y)
⇒ – 2y = cos^-1 (1 – sin y)
⇒ 1 – sin y = cos(- 2y) = cos 2y
⇒ 1 – sin y = 1 – 2 sin2 y
⇒ 2 sin² y – sin y = 0
⇒ sin y(2 sin y – 1) = 0
sin y = 0 or \(\frac{1}{2}\)
∴ x = 0 or x = \(\frac{1}{2}\)
But, when x = \(\frac{1}{2}\), it can be observed that
We have, tan^-1 \(\frac{1-x}{1+x}\) = \(\frac{1}{2}\) tan^-1 x
⇒ tan^-1 1 – tan^-1 x = \(\frac{1}{2}\) tan^-1 x
[∵ tan^-1 x – tan^-1 y = tan^-1 \(\frac{(x-y)}{1+x y}\)]
[∵ tan^-1 (1) = \(\frac{\pi}{4}\)]
⇒ \(\frac{\pi}{4}\) = \(\frac{3}{2}\) tan^-1 x
⇒ tan^-1 x = \(\frac{\pi}{6}\)
⇒ x = tan \(\frac{\pi}{6}\)
∴ x = \(\frac{1}{\sqrt{3}}\).

Question 15.
sin(tan^-1 x), |x| < 1 is equal to
(A) \(\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\)

(B) \(\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\)

(C) \(\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\)

(D) \(\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\)
Solution.
Let tan^-1 x = y.
Then, tan y = x
⇒ sin y = \(\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\)
∴ y = sin^-1 (\(\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\))
⇒ tan^-1 x = sin^-1 (\(\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\))
Now, sin(tan^-1 x) = sin(sin^-1 (\(\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\)))
= \(\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\)
The correct answer is (D).

Question 16.
sin^-1 (1 – x) – 2 sin^-1 x = \(\frac{\pi}{2}\), then x is equal to
(A) 0, \(\frac{1}{2}\)
(B) 1, \(\frac{1}{2}\)
(C) 0
(D) \(\frac{1}{2}\)
Solution.
Given, sin^-1 (1 – x) – 2 sin^-1 x = \(\frac{\pi}{2}\)
putting \(\frac{\pi}{2}\) = sin^-1 (1 – x) + cos^-1 (1 – x)
or sin^-1 (1 – x) – 2 sin^-1 (1 – x) = sin^-1 (1 – x) + cos^-1 (1 – x)
⇒ – 2 sin^-1 x = cos^-1 (1 – x)
Let sin^-1 x = α
∴ sin α = x
∴ – 2 sin^-1 x = – 2 α = cos^-1 (1 – x)
or cos 2α = 1 – x [∵ cos(- θ) = cos θ]
∴ 1 – 2 sin² α = (1 – x)
Putting sin α = x
⇒ 1 – 2x² = 1 – x
or 2x² – x = 0
x(2x – 1) = 0
∴ x = 0, \(\frac{1}{2}\)
But x = \(\frac{1}{2}\) does not satisfy the equation.
∴ x = 0
Hence, the correct answer is (C).

Question 17.
tan^-1 \(\left(\frac{x}{y}\right)\) – tan^-1 \(\frac{x-y}{x+y}\) is equal to
(A) \(\frac{\pi}{2}\)

(B) \(\frac{\pi}{3}\)

(C) \(\frac{\pi}{4}\)

(D) \(\frac{3 \pi}{4}\)
Solution.
We have tan^-1 \(\left(\frac{x}{y}\right)\) – tan^-1 \(\frac{x-y}{x+y}\)

Punjab State Board PSEB 11th Class Chemistry Book Solutions Chapter 1 Some Basic Concepts of Chemistry Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 11 Chemistry Chapter 1 Some Basic Concepts of Chemistry

PSEB 11th Class Chemistry Guide Some Basic Concepts of Chemistry InText Questions and Answers

Question 1.
Calculate the molecular mass of the following:
(i) H₂O (ii)CO₂ (iii) CH₄
Answer:
(i) H₂O
The molecular mass of water (H20)
= (2 x Atomic mass of hydrogen) + (1 x Atomic mass of oxygen)
= [2(1.008 u) +1(16.00 u)]
= 2.016u +16.00u = 18.016 u=18.02u

(ii) CO₂
The molecular mass of carbon dioxide (CO₂)
= (1 x Atomic mass of carbon) + (2 x Atomic mass of oxygen)
= [1(12.011u) + 2(16.00u)]
= 12.011u + 32.00u = 44.01u

(iii) CH₄
The molecular mass of methane (CH₄)
= (1 x Atomic mass of carbon) + (4 x Atomic mass of hydrogen)
– [1(12.011u) + 4(1.008u)]
= 12.011u + 4.032u = 16.043u

Question 2.
Calculate the mass per cent of different elements present in sodium sulphate (Na₂SO₄).
Answer:
The molecular formula of sodium sulphate is Na₂SO₄
Molar mass of Na₂SO₄ = 2 x Atomic mass of Na + 1 x Atomic mass of S + 4 x Atomic mass of O
= [(2 x 23.0) + (1 x 32.066) + (4 x 16.00)]
= 46.0 + 32.066 + 64.00 = 142.066 g
Mass per cent of sodium

Question 3.
Determine the empirical formula of an oxide of iron which has 69.9% iron and 30.1% dioxygen by mass.
Answer:

Question 4.
Calculate the amount of carbon dioxide that could be produced when
(i) 1 mol of carbon is burnt in air
(ii) 1 mole of carbon is burnt in 16g of dioxygen
(iii) 2 moles of carbon are burnt in 16g of dioxygen
Answer:

∵ 32.0g of O₂ produce 44.0 g of CO₂
∵ 16.0 g of O₂ produce = \(\frac{44}{32}\) x 16 = 22.0 g of CO₂
Amount of CO₂produced = 22.0g
(iii) Amount of CO₂produced when 2 moles (= 24 g) of C are burnt in 16.0g (limited amount ) of O₂ = 22.0g

Question 5.
Calculate the mass of sodium acetate (CH₃COONa) required to make 500mL of 0.375 molar aqueous solution. Molar mass of sodium acetate is 82.0.245 g mol^-1.
Answer:
0.375M aqueous solution of sodium acetate = 1000mL of solution containing 0.375 moles of sodium actate
∴ Number of moles of sodium acetate in 500 mL.
= \(\frac{0.375}{1000}\) x 500 = 0.1875 mole.
Molar mass of sodium acetate = 82.0245 g mol^-1
∴ Required mass of sodium acetate
= 82.0245 g mol^-1 x 0.1875 mole
= 15.38 g

Question 6.
Calculate the concentration of nitric acid in moles per litre in a sample which has a density, 1.41 gmLT1 and the mass per cent of nitric acid in it being 69%.
Answer:
Mass percent of nitric acid in the sample = 69%
Thus, 100 g of sample contains 69 g of nitric acid
Molar mass of nitric acid (HNO₃)
= {1 +14 + 3(16)} g mol^-1
= 1 +14 + 48 = 63 g mol^-1
∴ Number of moles in 69 g of HNO₃

Question 7.
How much copper can be obtained from 100 g of copper sulphate (CuSO₄)?
Answer:
1 mole of CuSO₄ contains 1 mole of copper.
Molar mass of CuSO₄
= (63.5) + (32.00) + 4(16.00)
= 63.5 + 32.00 + 64.00 = 159.5 g mol^-1
159.5 g of CuSO₄ contains = 63.5 g of copper
=> 100 g of CuSO₄ contains = \(\frac{63.5 \times 100 \mathrm{~g}}{159.5}\) = 39.81g
∴ Mass of copper that can be obtained from 100 g of CuSO₄ = 39.81 g

Question 8.
Determine the molecular formula of an oxide of iron in which the mass per cent of iron and oxygen are 69.9 and 30.1 respectively.
Answer:

Question 9.
Calculate the atomic mass (average) of chlorine using the following data:

	% Natural Abundance	Molar Mass
35cl	75.77	34.9689
37Cl	24.23	36.9659

Answer:
The average atomic mass of chlorine

= 26.4959 + 8.9568 = 35.4527
∴ The average atomic mass of chlorine = 35.4527

Question 10.
In three moles of ethane (C₂H₆), calculate the following:
(i) Number of moles of carbon atoms.
(ii) Number of moles of hydrogen atoms.
(iii) Number of molecules of ethane.
Answer:
(i) 1 mole of C₂H₆ contains 2 moles of carbon atoms.
∴ 3 moles of C₂H₆ will contain = 2 x 3 = 6 moles of carbon atoms
(ii) 1 mole of C₂H₆ contains 6 moles of hydrogen atoms.
∴ 3 moles of C₂H₆ will contain =3 x 6 = 18 moles of hydrogen atoms
(iii) 1 mole of C₂H₆ contains 6.022 x 10²³ molecules of ethane.
∴ 3 moles of C₂H₆ will contain = 3 x 6.022 x 10²³
= 18.066 x 10²³ molecules of ethane

Question 11.
What is the concentration of sugar (C₁₂H₂₂O₁₁) in mol L^-1 if 20 g of sugar are dissolved in enough water to make a final volume up to 2 L?
Answer:
Molar mass of sugar (C₁₂H₂₂O₁₁)
= 12 x 12 + 22 x 1 +11 x 16 = 342 g mol^-1
Molar concentration = \(\frac{\text { Moles of solute }}{\text { Volume of solution in L }}=\frac{0.0585}{2 \mathrm{~L}}\)
= 0.0293 mol L^-1 = 0.0293 M

Question 12.
If the density of methanol is 0.793 kg L^-1, what is its volume needed for making 2.5 L of its 0.25 M solution?
Answer:
Final volume, V₂ = 2.5 L
Final molarity, M₂ = 0.25 M
Density of methanol = 0.793 kg L^-1
Molarity of initial solution M₁ = ?
Initial volume, V₁ = ?
Molar mass of methanol (CH₃OH) = (1 x 12) + (4 x 1) + (1 x 16)
= 32 g mol^-1 = 0.032 kg mol^-1
Molarity of methanol solution, M₁ = \(\frac{0.793 \mathrm{~kg} \mathrm{~L}^{-1}}{0.032 \mathrm{~kg} \mathrm{~mol}^{-1}}\) = 24.78 mol L^-1
Applying,
M₁V₁ = M₂V₂
(24.78 mol L^-1)V₁ = (2.5L) (0.25mol L^-1)
V₁ = 0.02522 L
V₁ = 25.22 mL

Question 13.
Pressure is determined as force per unit area of the surface. The SI unit of pressure, pascal is as shown below :
1 Pa= IN m^-2
If mass of air at sea level is 1034 g cm-2, calculate the pressure in pascal.
Answer:
Pressure is defined as force acting per unit area of the surface.
i.e, P = F/A

= 101332.0 Nm^-2 [1N = 1kg ms^-2]
∴ Pressure = 1.01332 x 10 ⁵

Question 14.
What is the SI unit of mass? How is it defined?
Answer:
The SI unit of mass is kilogram (kg).
1 kilogram is defined as the mass equal to the mass of the international prototype of kilogram.

Question 15.
Match the following prefixes with their multiples :

	Prefixes	Multiples
(i)	micro	106
(ii)	deca	109
(iii)	mega	10-6
(iv)	giga	10-15
(v)	femto	10

Answer:

	Prefixes	Multiples
(i)	micro	10-6
(ii)	deca	10
(iii)	mega	106
(iv)	giga	109
(v)	femto	10-15

Question 16.
What do you mean by significant figures?
Answer:
The number of significant figures in a given data is the number of all certain digits plus one uncretain digit.
For example, if 15.6 mL is the result of an experiment, then 15 is certain while 6 is uncertain, and the total number of significant figures are 3.

Question 17.
A sample of drinking water was found to he severely contaminated with chloroform, CHC13, supposed to he carcinogenic in nature. The level of contamination was 15 ppm (by mass).
(i) Express this in per cent by mass.
(ii) Determine the molarity of chloroform in the water sample.
Answer:
(i) ∵ 10⁶ g of solution contains 15 g of CHCl₃
∴ 1 g of solution contains = \(\frac{15}{10^{6}}\) g of CHCl_{3
100 g of solution contains = \(\frac{15}{10^{6}}\) x 10² = 15 x 10^-4 g of CHCl3
∴ Percent by mass = 0.0015%}

(ii) Molar mass of CHCl₃ = 12 +1 + 3 x 35.5 = 119.5 g mol^-1
0.0015% means 15 x 10^-4 g chloroform is present in 100 g sample.
Molarity = \(\frac{W \times 1000}{m \times \text { Volume of sample }}\)
[For water density = 1 g cm^-3; so mass = volume]
= \(\frac{15 \times 10^{-4} \times 1000}{119.5 \times 100}\)
= 1.25 x 10^-4 M

Question 18.
Express the following in the scientific notation :
(i) 0.0048
(ii) 234000
(iii) 8008
(iv) 500.0
(v) 6.0012
Answer:
(i) 0.0048 = 4.8 x 10^-3
(ii) 234000 = 2.34 x 10⁵
(iii) 8008 = 8.008 x 10³
(iv) 500.0 = 5.00 x 10²
(v) 6.0012 = 6.0012 x 10⁰

Question 19.
How many significant figures are present in the following?
(i) 0.0025
(ii) 208
(iii) 5005
(iv) 126000
(v) 500.0
(vi) 2.0034
Answer:
(i) 0.0025
There are 2 significant figures,
(ii) 208
There are 3 significant figures.
(iii) 5005
There are 4 significant figures.
(iv) 126000
There are 3 significant figures.
(v) 500.0
There are 4 significant figures.
(vi) 2.0034
There are 5 significant figures.

Question 20.
Round up the following upto three significant figures :
(i) 34.216 (ii) 10.4107
(iii) 0.04597 (iv) 2808
Answer:
(i) 34.2
(ii) 10.4
(iii) 0.0460
(iv) 2810

Question 21.
The following data are obtained when dinitrogen and dioxygen react together to form different compounds :

	Mass of dinitrogen	Mass of dioxygen
(i)	14 g	16 g
(ii)	14 g	32 g
(iii)	28 g	32 g
(iv)	28 g	80 g

(a) Which law of chemical combination is obeyed by the above experimental data? Give its statement.
(b) Fill in the blanks in the following conversions :
(i) 1 km = ………mm = ………pm
(ii) 1 mg = ………kg = ………ng
(iii) 1 mL = ………L = ………dm³
Answer:
On fixing the mass of dinitrogen as 14 g, then the masses of dioxygen which combines with the fixed mass (= 14 g) of dinitrogen will be 16, 32, 16, 40 which are in the simple whole number ratio of 1 : 2 : 1 : 2.5 or 2 : 4 : 2 : 5.

(a) Law of multiple proportions : This law was proposed by Dalton in 1803. According to this law, if tvo elements can combine to form two or more than two compounds, the masses of one element that combine with a fixed mass of the other element are in the ratio of small whole numbers.

Question 22.
If the speed of light is 3.0 x 10⁸ms^-1, calculate the distance covered by light in 2.00 ns.
Answer:
According to the question,
Time taken to cover the distance = 2.00 ns
2ns = 2.00 x 10^-9s [∵ 1ns = 10^-9s]
Speed of light = 3.0 x 10⁸ms^-1
Distance travelled by light in 2.00 ns
= Speed of light x Time taken
= (3.0 x 10⁸ms^-1)(2.00 x 10^-9s) = 6.00 x 10^-1 m = 0.6 m

Question 23.
In a reaction A + B₂ → AB₂
Identify the limiting reagent, if any, in the following reaction mixtures.
(i) 300 atoms of A + 200 molecules of B
(ii) 2 mol A + 3 mol B
(iii) 100 atoms of A + 100 molecules of B
(iv) 5 mol A + 2.5 mol B
(v) 2.5 mol A + 5 mol B
Answer:
(i) According to the given reaction, 1 atom of A reacts with 1 molecule of B.
Thus, 300 atoms of A will react with 200 molecules of B thereby, leaving 100 atoms of A unused. Hence, B is the limiting reagent.
(ii) According to the given reaction, 1 mol of A reacts with 1 mol of B. Thus, 2 mol of A will react with 2 mol of B. As a result, 1 mol of B will not be consumed. Hence, A is the limiting reagent.
(iii) According to the given reaction, 1 atom of A combines with 1 molecule of B. Thus, all 100 atoms of A will combine with all 100 molecules of B. Hence, the mixture is stoichiometric where no limiting reagent is present.
(iv) 1 mol of atom A combines with 1 mol of molecule B. Thus, 2.5 mol of B will combine only 2.5 mol of A. As a result, 2.5 mol of A will be left as such. Hence, B is the limiting reagent.
(v) 1 mol of atom A combines with 1 mql of molecule B. Thus, 2.5 mol of A will combine only 2.5 mol of B and the remaining 2.5 mol of B will be left as such. Hence, A is the limiting reagent.

Question 24.
Dinitrogen and dihydrogen react with each other to produce ammonia according to the following chemical equation: N2(g)+H2(g) → 2NH₃(g)
(i) Calculate the mass of ammonia produced if 2.00 x 10³ g dinitrogen reacts with 1.00 x 10³ g of dihydrogen.
(ii) Will any of the two reactants remain unreacted?
(iii) If yes, which one and what would be its mass?
On balancing the given chemical equation,
Answer:

⇒ 28 g N₂ reacts with 6 g H₂; 1 g N₂ reacts with \(\frac{6}{28}\) g H₂;
2.0 x 10³ g of N2 will react with \(\frac{2000 \times 6}{28}\) = 428.6 g of H₂.
Hence, N₂ is the limiting reagent.
∵ 28 g N2 produces 34 g NH3 34
∴ 1 g N2 produces \(\frac{34}{28}\) g NH₃
2.00 x 10³ f N₂ will produce = \(\frac{34 g}{28 g}\) x 2000g = 2428.57 g NH₃
(ii) N₂ is the limiting reagent and H₂ is the excess reagent. Hence, H₂ will remain unreacted.
(iii) Mass of H₂ remain unreacted = 1.00 x 10³ g – 428.6 g = 571.43 g

Question 25.
How are 0.50 mol Na₂CO₃ and 0.50 M Na₂CO₃ different?
Answer:
Molar mass of Na₂CO₃ = (2 x 23) +12.00 + (3 x 16) = 106 g mol^-1
Now, 1 mol Na₂CO₃ means 106 g Na₂CO₃
∴ 0.5 mol Na₂CO₃ = x °-5 mo1 Na₂C0₃ = 53 g Na₂C0₃
⇒ 0.50 M Na₂CO₃ = 0.50 mol/L Na₂CO₃
Hence, 0.50 mol Na₂CO₃ means 53 g Na₂CO₃ is present in 1 L of the solution.

Question 26.
If ten volumes of dihydrogen gas reacts with five volumes of dioxygen gas, how many volumes of water vapour would be produced?
Answer:
Reaction of dihydrogen with dioxygen can be written as:

Now, 2 volumes of dihydrogen react with 1 volume of O₂ to produce 2 volumes of water vapour.
Hence, 10 volumes of dihydrogen will react with 5 volumes of dioxygen to produce 10 volumes of water vapour.

Question 27.
Convert the following into basic units :
(i) 28.7 pm
(ii) 15.15 pm
(iii) 25365 mg
Answer:
(i) 28.7 pm :
∵ 1 pm = 10^-12 m
∴ 28.7pm = 28.7 x 10^-12 m = 2.87 x 10^-11 m

(ii) 15.15pm
∵ 1 pm =10 12 m
∴ 15.15 pm = 15.15 x 10^-12 m = 1.515 x 10^-11 m

(iii) 25365 mg :
1 mg = 10^-3 g
25365 mg = 2.5365 x 10⁴ x 10^-3 g
= 2.5365 x 10¹ g
Since,
1 g = 10^-3 kg
2.5365 x 10¹ g = 2.5365 x 10¹ x 10^-3 kg.
∴ 25365 mg = 2.5365 x 10^-2 kg

Question 28.
Which one of the following will have largest number of atoms?
(i) 1 g Au(s)
(ii) 1 g Na(s)
(iii) 1g Li (s)
(iv) 1 g of Cl₂(g)
Answer:
(i) 1 g Au (s) = \(\frac{1}{197}\) mol atoms of Au (s)
= \(\frac{6.022 \times 10^{23}}{197}\) mol atoms of Au (s)
= 3.06 x 10²¹ atoms of Au (s)

(ii) 1 g Na (s) = \(\frac{1}{23}\) mol atoms of Na (s)
= \(\frac{6.022 \times 10^{23}}{23}\) atoms of Na (s)
= 0.262 x 10²³ atoms of Na (s)
= 26.2 x 10²¹ atoms of Na (s)

(iii) 1 g Li (s) = \(\frac{1}{7}\) mol atoms of Li (s)
= \(\frac{6.022 \times 10^{23}}{23}\) atoms of Li (s)
= 86.0 x 1021 atoms of Li (s)

(iv) 1 gCl₂ (g) = \(\frac{1}{71}\) mol molecules of Cl₂ (g)
= \(\frac{6.022 \times 10^{23}}{71}\) molecules of Cl? (g)
= 0.0848 x 10²³ molecules of Cl₂ (g)
= 8.48 x 10²¹ molecules of Cl₂ (g)
(one molecule of Cl₂ contains two atoms of Cl)
Number of atoms of Cl = 2 x 8.48 x 10²¹ = 16.96 x 10²¹ atoms of Cl
Hence, 1 g of Li (s) has largest number of atoms.

Question 29.
Calculate the molarity of a solution of ethanol in water in which the mole fraction of ethanol is 0.040 (assume the density of water to be one).
Answer:
Mole fraction of ethanol (C₂H₅OH)

Number of moles present in 1L water;
ⁿH₂O = \(\)
ⁿH₂O = 55.55 moles
Substituting the value of ⁿH₂O in eq (i).
\(\frac{n_{\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{5} \mathrm{OH}}}{n_{\mathrm{C}_{2} \mathrm{H}_{5} \mathrm{OH}}+55.55}\) = 0.040
ⁿC₂H₅OH – 0.040ⁿC₂H₅OH = 2.222mol
0.96 ⁿC₂H₅OH = 2.222 mol ⁿC₂H₅OH = \(\frac{2.222}{0.96}\) mol.
ⁿC₂H₅OH = 2.314 mol
∴ Molarity of solution = \(\frac{2.314 \mathrm{~mol}}{1 \mathrm{~L}}\) = 2.314M

Question 30.
What will be the mass of one 12C atom in g?
Answer:
1 mol of carbon atoms = 6.022 x 10²³ atoms of carbon = 12 g of carbon
∴ Mass of one ¹²C atom = \(\frac{\text { Atomic mass of } \mathrm{C}}{\text { Avogadro’s number }}=\frac{12 \mathrm{~g}}{6.022 \times 10^{23}}\)
= 1.993 x 10^-23 g

Question 31.
How many significant figures should be present in the answer of the following calculations?
(i) \(\frac{0.02856 \times 298.15 \times 0.112}{0.5785}\)
(ii) 5 x 5.364
(iii) 0.0125 + 0.7864 + 0.0215
Answer:
\(\frac{0.02856 \times 298.15 \times 0.112}{0.5785}\)
Least precise number of calculation = 0.112
Number of significant figures in the answer = Number of significant figures in the least precise number = 3 /*
(ii) 5 x 5.364
Least precise number of calculation = 5.364
Number of significant figures in the answer = Number of significant figures in 5.364 = 4
(iii) 0.0125 + 0.7864 + 0.0215
Since the least number of decimal places in each term is four, the number of significant figures in the answer is also 4.

Question 32.
Use the data given in the following table to calculate the molar mass of naturally occurring argon isotopes :

Isotope	Isotopic molar mass	Abundance
36 Ar	35.96755 g mol-1	0.337%
38 Ar	37.96272 g mol-1	0.063%
40 Ar	39.9624 g mol-1	99.600%

Answer:
Molar mass of argon

= 0.121 + 0.024 + 39.802 g mol^-1 = 39.947 g mol^-1

Question 33.
Calculate the number of atoms in each of the following
(i) 52 moles of Ar (ii) 52 u of He (iii) 52 g of He.
Answer:
(i) ∵ 1 mol of Ar = 6.022 x 10²³ atoms of Ar
∴ 52 moles of Ar = 52 x 6.022 x 10²³ atoms of Ar
= 3.131 x 10²⁵ atoms

(ii) ∵ 1 atom of He = 4 u of He
Or, 4 u of He = 1 atom of He
∴ 1 u of He = 1/4 atom of He
∴ 52 u of He = 52/4 atoms of He = 13 atoms

(iii) ∵ 4 g of He = 6.022 x 10²³ atoms
6022 1023 52
∴ 52 g of He = \(\frac{6.022 \times 10^{23} \times 52}{4}\) = 7.8286 x 10²⁴ atoms

Question 34.
A welding fuel gas contains carbon and hydrogen only. Burning a small sample of it in oxygen gives 3.38 g carbon dioxide, 0.690 g of water and no other products. A volume of 10.0 L (measured at STP) of this welding gas is found to weigh 11.6 g. Calculate (i) empirical formula, (ii) molar mass of the gas, and (iii) molecular formula.
Answer:
(i) 44 g CO₂ = 12 g carbon
3.38 g CO₂ = 12/44 x 3.38g = 0.9218 g carbon
18 g H₂O = 2g hydrogen
0.690 g H₂O = 2/18 x 0.690 g = 0.0767 g hydrogen
Total mass of compound = 0.9218+0.0767 = 0.9985 g (because compound contains only carbon and hydrogen)
% of C in the compound = \(\frac{0.9218}{0.9985}\) x 100 = 92.32
% of H in the compound = \(\frac{0.0767}{0.9985}\) x 100 = 7.68
Calculation for Empirical Formula

Hence, empirical formula = CH
(ii) Calculation for molar mass of the gas
10.0 L of the given gas at STP weigh = 11.6 g
∴ 22.4 L of the given gas at STP will weigh = \(\frac{11.6 \times 22.4}{10}\) = 25.984 g
Molar mass = 25.984 = 26 g mol^-1
(iii) Empirical formula mass (CH) =12 + 1 = 13
∴ n = \(\frac{\text { Molecular mass }}{\text { Empirical formula mass }}=\frac{26}{13}\) = 2
Hence, molecular formula = n x CH = 2 x CH = C₂H₂

Question 35.
Calcium carbonate reacts with aqueous HC1 to give CaCl₂ and CO₂ according to the reaction,
CaC0₃(s) + 2 HCl(aq) -» CaCl₂(aq) + C0₂(g) + H₂O(l) What mass of CaC0₃ is required to react completely with 25 mL of 0.75 M HC1?
Answer:
The given reaction is
CaC0₃(s) + 2HCl(aq) → CaCl₂(aq) + C0₂(g) + H₂0(l)
Let us find out the weight of HCl present in 25 mL of 0.75 M HCl
1000 mL of 1.0 M HCl contains = 36.5 g
25 mL of 0.75 M HCl contains = \(\frac{36.5}{1000}\) x 25 x 0.75
= 0.6844 g of HCl
According to the equation;
73 g of HCl [2(1 + 35.5)] reacts with 100.0 g of CaC0₃
0.6844 g of HCl reacts with = \(\frac{100}{73}\) x 0.6844 = 0.94 g of CaC0₃

Question 36.
Chlorine is prepared in the laboratory by treating manganese dioxide (MnO₂) with aqueous hydrochloric acid according to the reaction
4HCl(oq) + MnO₂(s) > 2H₂O(l) + MnCl₂(aq) + Cl₂(g)
How many grams of HCl react with 5.0 g of manganese dioxide?
Answer:

According to the balanced chemical equation,
∵ 87 g of MnO₂ react with 4 x 36.5 g HCl
∴ 5 g of MnO₂ will react \(\frac{4 \times 36.5 \times 5}{87}\) = 8.39 g HCl

Punjab State Board PSEB 12th Class Maths Book Solutions Chapter 2 Inverse Trigonometric Functions Ex 2.2 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 12 Maths Chapter 2 Inverse Trigonometric Functions Ex 2.2

Direction (1 – 4): Prove the following.

Question 1.
3 sin^-1 x = sin^-1 (3x – 4x³), x ∈ [- \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{2}\)]
Solution.
Let x = sin θ. Then, sin^-1 x = θ.
We have,
R.H.S. = sin^-1 (3x – 4x³) = sin^-1(3 sin θ – 4 sin³ θ)
= sin^-1 (sin 3θ) = 3θ = 3 sin^-1 x
= L.H.S.
Hence proved.

Question 2.
3 cos^-1 x = cos^-1 (4x³ – 3x), x ∈ [\(\frac{1}{2}\), 1]
Solution.
Let x = cos θ. Then, cos^-1 x = θ.
We have, R.H.S. = cos^-1 (4x³ – 3x)
= cos^-1 (4cos 3θ – 3 cos θ)
= cos^-1 (cos 3θ) = 3θ = 3 cos^-1 x
= L.H.S.
Hence proved.

Question 3.
tan^-1 \(\frac{2}{11}\) + tan^-1 \(\frac{7}{24}\) = tan^-1 \(\frac{1}{2}\).
Solution.
Given, tan^-1 \(\frac{2}{11}\) + tan^-1 \(\frac{7}{24}\) = tan^-1 \(\frac{1}{2}\)

Question 4.
2 tan^-1 \(\frac{1}{2}\) + tan^-1 \(\frac{1}{7}\) = tan^-1 \(\frac{31}{17}\)
Solution.
Given, 2 tan^-1 \(\frac{1}{2}\) + tan^-1 \(\frac{1}{7}\) = tan^-1 \(\frac{31}{17}\)
L.H.S. = 2 tan^-1 \(\frac{1}{2}\) + tan^-1 \(\frac{1}{7}\)
= \(\tan ^{-1}\left[\frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}\right]+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)\) [∵ 2 tan^-1 x = tan^-1 (\(\frac{2 x}{1-x^{2}}\))]

Direction (5 – 10):- Write the following functions in the simplest form:

Question 5.
tan^-1 \(\frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{x}\), x ≠ 0.
Solution.
We have, tan^-1 \(\frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{x}\)
put x = tan θ
⇒ θ = tan^-1 x

Question 6.
tan^-1 \(\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\), |x| > 1
Solution.
Let x = sec θ, then θ = sec^-1 x
∴ tan^-1 \(\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}\) = tan^-1 \(\left(\frac{1}{\sqrt{\sec ^{2} \theta-1}}\right)\)
= tan^-1 \(\left(\frac{1}{\sqrt{\tan ^{2} \theta}}\right)\) [∵ sec² θ – 1 = tan² θ]
= tan^-1 \(\left(\frac{1}{\tan \theta}\right)\)
= tan^-1 (cot θ)
= tan^-1 [tan (\(\frac{\pi}{2}\) – θ)] [∵ tan (\(\frac{\pi}{2}\) – θ) = cot θ]
= \(\frac{\pi}{2}\) – θ
= \(\frac{\pi}{2}\) – sec^-1 x.

Question 7.
tan^-1 \(\left(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\right)\), x < π.
Solution.
We have, tan^-1 \(\left(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\right)\)
= tan^-1 \(\left(\sqrt{\frac{2 \sin ^{2} \frac{x}{2}}{2 \cos ^{2} \frac{x}{2}}}\right)\)
= tan^-1 (tan \(\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}\right)\))
= tan^-1 (tan \(\frac{x}{2}\))
= \(\frac{x}{2}\)

Question 8.
tan^-1 (\(\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}\)), 0 < x < π.
Solution.

Question 9.
tan^-1 \(\frac{x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\), |x| < a.
Solution.
We have, tan^-1 \(\frac{x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\)
Let x = a sin θ
⇒ \(\frac{x}{a}\) = sin θ
⇒ θ = sin^-1 (\(\frac{x}{a}\))
∴ tan^-1 \(\frac{x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\) = tan^-1 \(\left(\frac{a \sin \theta}{\sqrt{a^{2}-a^{2} \sin ^{2} \theta}}\right)\)
= tan^-1 \(\left(\frac{a \sin \theta}{a \sqrt{1-\sin ^{2} \theta}}\right)\)
= tan^-1 \(\left(\frac{a \sin \theta}{a \cos \theta}\right)\)
= tan^-1 (tan θ)
= θ = sin^-1 \(\frac{x}{a}\).

Question 10.
tan^-1 \(\left(\frac{3 a^{2} x-x^{3}}{a^{3}-3 a x^{2}}\right)\), a > 0; \(\frac{-a}{\sqrt{3}} \leq x \leq \frac{a}{\sqrt{3}}\).
Solution.
We have, tan^-1 \(\left(\frac{3 a^{2} x-x^{3}}{a^{3}-3 a x^{2}}\right)\), a > 0; \(\frac{-a}{\sqrt{3}} \leq x \leq \frac{a}{\sqrt{3}}\)
Let x = a tan θ
⇒ \(\frac{x}{a}\) = tan θ
⇒ θ = tan^-1 \(\frac{x}{a}\)

∴ tan^-1 \(\left(\frac{3 a^{2} x-x^{3}}{a^{3}-3 a x^{2}}\right)\), a > 0; \(\frac{-a}{\sqrt{3}} \leq x \leq \frac{a}{\sqrt{3}}\) = tan^-1 \(\left(\frac{3 a^{2} \cdot(a \tan \theta)-a^{3} \tan ^{3} \theta}{a^{3}-3 a \cdot\left(a^{2} \tan ^{2} \theta\right)}\right)\)

= tan ^-1 \(\left(\frac{3 a^{3} \tan \theta-a^{3} \tan ^{3} \theta}{a^{3}-3 a^{3} \tan ^{2} \theta}\right)\)

= tan^-1 \(\left(\frac{3 \tan \theta-\tan ^{3} \theta}{1-3 \tan ^{2} \theta}\right)\)

= tan^-1 (tan 3θ) [∵ tan 3θ = \(\frac{3 \tan \theta-\tan ^{3} \theta}{1-3 \tan ^{2} \theta}\)]

= 3θ = 3 tan^-1 \(\frac{x}{a}\).

Direction (11 – 15) : Find the value of each of the following.

Question 11.
tan^-1 [2 cos(2 sin^-1 \(\frac{1}{2}\))].
Solution.
Let sin^-1 \(\frac{1}{2}\) = x
Then, sin x = \(\frac{1}{2}\) = sin (\(\frac{\pi}{6}\)))
Now, tan^-1 [2 cos(2 sin^-1 \(\frac{1}{2}\))] = tan^-1 [2 cos(2 × \(\frac{\pi}{6}\))]
= tan^-1 [2 cos \(\frac{\pi}{3}\)]
= tan^-1 [2 × \(\frac{1}{2}\)] [∵ cos (\(\frac{\pi}{3}\)) = \(\frac{1}{2}\))
= tan^-1 1 = \(\frac{\pi}{4}\)

Question 12.
cot(tan^-1 a + cot^-1 a).
Solution.
We have, cot(tan^-1 a + cot^-1 a)
= cot (\(\frac{\pi}{2}\))
= 0 [∵ tan^-1 x + cot^-1 x = \(\frac{\pi}{2}\)].

Question 13.
tan \(\frac{1}{2}\) [sin^-1 \(\frac{2 x}{1+x^{2}}\) + cos^-1 \(\frac{1-y^{2}}{1+y^{2}}\)], |x| < 1, y > 0 and xy < 1.
Solution.
Let x = tan θ.
Then, θ = tan^-1 x.
∴ sin^-1 \(\frac{2 x}{1+x^{2}}\) = sin^-1 \(\left(\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta}\right)\)
= sin^-1 (sin 2θ) = 2θ = 2 tan^-1 x
Again, let y = tan φ.
Then, φ = tan^-1 y
∴ cos^-1 \(\frac{1-y^{2}}{1+y^{2}}\) = cos^-1 \(\left(\frac{1-\tan ^{2} \varphi}{1+\tan ^{2} \varphi}\right)\)
= cos^-1 (cos 2φ) = 2φ = 2 tan^-1 y
Now, tan \(\frac{1}{2}\) [sin^-1 \(\frac{2 x}{1+x^{2}}\) + cos^-1 \(\frac{1-y^{2}}{1+y^{2}}\)]
= tan \(\frac{1}{2}\) [2 tan^-1 x + tan^-1 y]
= tan [tan^-1 x + tan^-1 y]
= tan[tan^-1 \(\left(\frac{x+y}{1-x y}\right)\)]
[∵ tan^-1 x + tan^-1 y = tan^-1 \(\left(\frac{x+y}{1-x y}\right)\)]
= \(\frac{x+y}{1-x y}\)

Question 14.
If sin(sin^-1 \(\frac{1}{5}\) + cos^-1 x) = 1, then find the value of x.
Solution.
Given, sin(sin^-1 \(\frac{1}{5}\) + cos^-1 x) = 1
⇒ sin^-1 \(\frac{1}{5}\) + cos^-1 x = sin^-1 (1)
[∵ sin θ = x ⇒ θ = sin^-1 x]
⇒ sin^-1 \(\frac{1}{5}\) + cos^-1 x = sin^-1 (sin \(\frac{\pi}{2}\))
[∵ sin (\(\frac{\pi}{2}\)) = 1]
⇒ sin^-1 \(\frac{1}{5}\) + cos^-1 x = \(\frac{\pi}{2}\)
⇒ sin^-1 \(\frac{1}{5}\) = \(\frac{\pi}{2}\) – cos^-1 x
sin^-1 \(\frac{1}{5}\) = sin^-1 x
[∵ sin^-1 x + cos^-1 x = \(\frac{\pi}{2}\)]
⇒ \(\frac{1}{5}\) = x
Hence, the value of x is \(\frac{1}{5}\).

Question 15.
If tan^-1 \(\frac{x-1}{x-2}\) + tan^-1 \(\frac{x+1}{x+2}=\frac{\pi}{4}\), then find the value of x.
Solution.
We have, tan^-1 \(\frac{x-1}{x-2}\) + tan^-1 \(\frac{x+1}{x+2}=\frac{\pi}{4}\)

⇒

Direction (16 – 18): Find the value of each expression.

Question 16.
sin^-1 (sin \(\frac{2 \pi}{3}\))
Solution.
We have, sin^-1 (sin \(\frac{2 \pi}{3}\))
We know that sin^-1(sin x) = x , if x ∈ (- \(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{2}\)) which is the principal value branch of sin^-1 x.
Here, \(\frac{2 \pi}{3}\) ∉ (- \(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{2}\)
Now, sin^-1 (sin \(\frac{2 \pi}{3}\)) can be written as
sin^-1 (sin \(\frac{2 \pi}{3}\)) = \(\sin ^{-1}\left[\sin \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)\right]=\sin ^{-1}\left(\sin \frac{\pi}{3}\right)\) where \(\frac{\pi}{3}\) ∈ (- \(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{2}\))
∴ sin^-1 (sin \(\frac{2 \pi}{3}\)) = sin^-1 (sin \(\frac{\pi}{3}\)) = \(\frac{\pi}{3}\).

Question 17.
tan^-1 (tan \(\frac{3 \pi}{4}\))
Solution.
We have, tan^-1 (tan \(\frac{3 \pi}{4}\))
We know that tan^-1 (tan x) = x, if x ∈ (- \(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{2}\)), which is the principal value branch of tan^-1 x.
Here, \(\frac{3 \pi}{4}\) ∉ (- \(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{2}\))
Now, tan^-1 (tan \(\frac{3 \pi}{4}\)) can be written as
tan^-1 (tan \(\frac{3 \pi}{4}\)) = tan^-1 [tan(π – \(\frac{\pi}{4}\))]
= tan^-1 [- tan \(\frac{\pi}{4}\)]
= tan^-1 [tan (- \(\frac{\pi}{4}\))]
where – \(\frac{\pi}{4}\) ∈ (- \(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{2}\))
[∵ – tan θ = tan(- θ)]
∴ tan^-1 (tan \(\frac{3 \pi}{4}\)) = tan^-1 [tan (- \(\frac{\pi}{4}\))]
= – \(\frac{\pi}{4}\)

Question 18.
tan (sin^-1 \(\frac{3}{5}\) + cot^-1 \(\frac{3}{2}\))
Solution.
Let sin^-1 \(\frac{3}{5}\) = x.
Then, sin x = \(\frac{3}{5}\)
⇒ cos x = \(\sqrt{1-\sin ^{2} x}\) = \(\frac{4}{5}\)
⇒ sec x = \(\frac{5}{4}\)
∴ tan x = \(\sqrt{\sec ^{2} x-1}=\sqrt{\frac{25}{16}-1}=\frac{3}{4}\)
∴ x = tan^-1 \(\frac{3}{4}\)
∴ sin^-1 \(\frac{3}{5}\) = tan^-1 \(\frac{3}{4}\) ………..(i)
Now, cot^-1 \(\frac{3}{2}\) = tan^-1 \(\frac{2}{3}\)
[∵ tan^-1 \(\frac{1}{x}\) = cot^-1 x] ……………(ii)
Hence, tan (sin^-1 \(\frac{3}{5}\) + cot^-1 \(\frac{3}{2}\))
= tan (tan^-1 \(\frac{3}{4}\) + tan^-1 \(\frac{2}{3}\))
= \(\tan \left(\tan ^{-1} \frac{\frac{3}{4}+\frac{2}{3}}{1-\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}}\right)\)
[∵ tan^-1 x + tan^-1 y = tan^-1 \(\left(\frac{x+y}{1-x y}\right)\)]
= tan (tan^-1 \(\frac{9+8}{12-6}\))
= tan (tan^-1 \(\frac{17}{6}\))
= \(\frac{17}{6}\).

Question 19.
cos^-1 (cos \(\frac{7 \pi}{6}\)) is equal to
(A) \(\frac{7 \pi}{6}\)

(B) \(\frac{5 \pi}{6}\)

(C) \(\frac{\pi}{3}\)

(D) \(\frac{\pi}{6}\)

Solution.
We know that cos^-1 (cos x) = x if x ∈ [0, x], which is the principal value branch of cos^-1 x.
Here, \(\frac{7 \pi}{6}\) ∉ x ∈ [0, π]
Now, cos^-1 (cos \(\frac{7 \pi}{6}\)) can be written as
cos^-1 (cos \(\frac{7 \pi}{6}\)) = cos^-1 [cos(2π – \(\frac{5 \pi}{6}\))]

= cos^-1 [cos \(\frac{5 \pi}{6}\)], where \(\frac{5 \pi}{6}\) ∈ [0, π]
[∵ cos(2π – x) = cos x]
∴ cos^-1 (cos \(\frac{7 \pi}{6}\)) = cos^-1 (cos \(\frac{5 \pi}{6}\))
= \(\frac{5 \pi}{6}\)
The correct option is (B).

Question 20.
sin[\(\frac{\pi}{3}\) – sin^-1 (- \(\frac{1}{2}\))] is equal to
(A) \(\frac{1}{2}\)

(B) \(\frac{1}{3}\)

(C) \(\frac{1}{4}\)

(D) 1
Solution.
Let sin^-1 (- \(\frac{1}{2}\)) = x.
Then, sin x = – \(\frac{1}{2}\) = – sin \(\frac{\pi}{6}\) = sin(-\(\frac{\pi}{6}\))
We know that the range of the principal value of sin^-1 x is (- \(\frac{\pi}{2}\), –\(\frac{\pi}{2}\))
∴ sin^-1 (- \(\frac{1}{2}\)) = – \(\frac{\pi}{6}\)
Now, sin[\(\frac{\pi}{6}\) – sin^-1 (- \(\frac{1}{2}\))] = sin \(\left[\frac{\pi}{3}-\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right]\)
= sin \(\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)\)
= sin (\(\frac{3 \pi}{6}\))
= sin (\(\frac{\pi}{2}\)) = 1
The correct option is (D).

Question 21.
tan^-1 (- √3) – cot^-1 (- √3) is equal to
(A) π
(B) – \(\frac{\pi}{2}\)
(C) 0
(D) 2√3
Solution.
Let tan^-1 √3 = x
⇒ tan x = √3 = tan \(\frac{\pi}{3}\)
∴ tan^-1 √3 = \(\frac{\pi}{3}\)
Again, let cos^-1(- √3) = x
⇒ cot x = – √3 = – cot \(\frac{\pi}{6}\)
= cot (π – \(\frac{\pi}{6}\))
= cot \(\frac{5 \pi}{6}\)
∴ cot^-1 (- √3) = \(\frac{5 \pi}{6}\)
Now, tan^-1 (- √3) – cot^-1 (- √3) = \(\frac{\pi}{3}\) – \(\frac{5 \pi}{6}\)
= \(\frac{2 \pi-5 \pi}{6}=\frac{-3 \pi}{6}=-\frac{\pi}{2}\)
Hence, correct option is (B).

Punjab State Board PSEB 11th Class Political Science Book Solutions Chapter 21 संविधान की मुख्य विशेषताएं Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 11 Political Science Chapter 21 संविधान की मुख्य विशेषताएं

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न-

प्रश्न 1.
भारतीय संविधान की मुख्य विशेषताओं का वर्णन करो।
(Describe the chief features of the Indian Constitution.)
अथवा
भारतीय संविधान की मुख्य विशेषताओं का वर्णन करो।
(Discuss the salient features of the Indian Constitution.)
उत्तर- भारत का संविधान एक संविधान सभा ने बनाया और इस संविधान को 26 जनवरी, 1950 को लागू किया गया। इस संविधान की अपनी कुछ विशेषतायें हैं जो कि निम्नलिखित हैं-

1. लिखित तथा विस्तृत संविधान (Written and Detailed Constitution)-अमेरिका, स्विट्ज़रलैंड, साम्यवादी चीन, फ्रांस और जापान के संविधानों की तरह भारत का संविधान भी लिखित तथा विस्तृत है। संविधानसभा ने भारत का संविधान 2 वर्ष, 11 महीने तथा 18 दिनों में बनाया और इस संविधान को 26 जनवरी, 1950 को लागू किया। भारतीय संविधान लिखित होने के साथ-साथ अन्य देशों के संविधानों के मुकाबले में बहुत विस्तृत संविधान है। हमारे संविधान में 395 अनुच्छेद तथा 12 अनुसूचियां हैं और इन्हें 22 भागों में बांटा गया है।
सर आइवर जेनिंग्स (Sir Ivor Jennings) का कहना है कि, “भारतीय संविधान संसार में सबसे लम्बा एवं विस्तृत संविधान है।”

2. प्रस्तावना (Preamble)—प्रत्येक अच्छे संविधान की तरह भारत के संविधान में भी प्रस्तावना दी गई है। इस प्रस्तावना में संविधान के मुख्य लक्ष्यों, विचारधाराओं तथा राज्य के उत्तरदायित्वों का वर्णन किया गया है।

3. सम्पूर्ण प्रभुत्व-सम्पन्न, समाजवादी, धर्म-निरपेक्ष, लोकतन्त्रात्मक गणराज्य की स्थापना (Creation of a Sovereign, Socialist, Secular, Democratic Republic)-भारतीय संविधान ने भारत को सम्पूर्ण प्रभुत्व सम्पन्न, समाजवादी, धर्म-निरपेक्ष, लोकतन्त्रात्मक गणराज्य घोषित किया है। इसका अर्थ है कि अब भारत पूर्ण रूप से स्वतन्त्र तथा सर्वोच्च सत्ताधारी है और किसी अन्य सत्ता के अधीन नहीं है। भारत का लक्ष्य समाजवादी समाज की स्थापना करना है और भारत धर्म-निरपेक्ष राज्य है। यहां पर लोकतन्त्रीय गणराज्य की स्थापना की गई है। राष्ट्रपति का चुनाव एक निर्वाचक-मण्डल द्वारा 5 वर्ष की अवधि के लिए होता है।

4. जनता का अपना संविधान (People’s own Constitution)-भारत के संविधान की एक महत्त्वपूर्ण विशेषता यह है कि वह जनता का अपना संविधान है और इसे जनता ने स्वयं अपनी इच्छा से अपने ऊपर लागू किया है। यद्यपि हमारे संविधान में आयरलैण्ड के संविधान की तरह कोई अनुच्छेद ऐसा नहीं है जिससे यह स्पष्ट होता हो कि भारतीय संविधान को जनता ने स्वयं बनाया है तथापि इस बात की पुष्टि संविधान की प्रस्तावना करती है-
“हम भारत के लोग, भारत में एक सम्पूर्ण प्रभुत्व-सम्पन्न समाजवादी, धर्मनिरपेक्ष, लोकतन्त्रात्मक गणराज्य स्थापित करते हैं। अपनी इस संविधान सभा में 26 नवम्बर, 1949 ई० को इस संविधान को अपनाते हैं।”

5. अनेक स्रोतों से तैयार किया हुआ संविधान (A Unique Constitution Derived from many Sources) हमारे संविधान की यह भी एक विशेषता है कि इसमें अन्य देशों के संविधान के अच्छे सिद्धान्तों तथा गुणों को सम्मिलित किया गया है। हमारे संविधान निर्माताओं का उद्देश्य एक अच्छा संविधान बनाना था, इसलिए उनको जिस देश के संविधान में कोई अच्छी बात दिखाई दी, उसको उन्होंने संविधान में शामिल कर लिया। संसदीय शासन प्रणाली को इंग्लैण्ड के संविधान से लिया गया है। संघीय प्रणाली अमेरिका तथा राज्य के नीति निर्देशक सिद्धान्त आयरलैण्ड के संविधान से लिए गए हैं। इस प्रकार भारत का संविधान, अनेक संविधानों के गुणों का सार है।

6. संविधान की सर्वोच्चता (Supremacy of the Constitution)-भारतीय संविधान की एक अन्य विशेषता यह है कि यह देश का सर्वोच्च कानून है। कोई कानून या आदेश इसके विरुद्ध जारी नहीं किया जा सकता है। सरकार के सभी अंगों को संविधान के अनुसार कार्य करना पड़ता है। यदि संसद् कोई ऐसा कानून पास करती है जो संविधान के विरुद्ध हो या राष्ट्रपति आदेश जारी करता है जो संविधान के साथ मेल नहीं खाता तो न्यायपालिका ऐसे कानून और आदेश को अवैध घोषित कर सकती है, अतः संविधान सर्वोच्च है।

7. धर्म निरपेक्ष (Secular State)-भारत के संविधान के अनुसार भारत एक धर्म-निरपेक्ष राज्य है। 42वें संशोधन द्वारा प्रस्तावना में धर्म-निरपेक्ष शब्द जोड़ कर स्पष्ट रूप से भारत को धर्म-निरपेक्ष राज्य घोषित किया गया है। धर्मनिरपेक्ष राज्य का अर्थ है कि राज्य का अपना कोई धर्म नहीं है और राज्य की दृष्टि में सभी धर्म समान हैं। नागरिकों को धार्मिक स्वतन्त्रता प्राप्त है और वे अपनी इच्छानुसार किसी भी धर्म को अपना सकते हैं, अपनी इच्छानुसार अपने इष्ट देव की पूजा कर सकते हैं, अपने धर्म का प्रचार कर सकते हैं। अनुच्छेद 25 से 28 तक में धार्मिक स्वन्त्रता प्रदान की गई है।

8. लचीला तथा कठोर संविधान (Flexible and Rigid Constitution)—भारत का संविधान लचीला भी है और कठोर भी। संविधान के कुछ भाग में संशोधन करना बड़ा सरल है जिसमें संसद् साधारण बहुमत से उसमें संशोधन कर सकती है। संविधान के कुछ अनुच्छेद ऐसे हैं, जिनमें संशोधन करना बड़ा ही कठोर है जैसे राष्ट्रपति के निर्वाचन की विधि, सर्वोच्च तथा उच्च न्यायालयों के अधिकार क्षेत्र तथा शक्तियां, संघ तथा राज्यों में शक्ति विभाजन, संसद् में राज्यों का प्रतिनिधित्व आदि विषयों में संशोधन करने के लिए यह आवश्यक है कि ऐसा प्रस्ताव संसद् के दोनों सदनों के दो-तिहाई बहुमत से पास होने के अतिरिक्त कम-से-कम आधे राज्यों के विधानमण्डलों द्वारा भी पास होना चाहिए। संविधान के शेष उपबन्धों को संशोधित करने के लिए संसद् का दो-तिहाई बहुमत आवश्यक है।

9. संघात्मक संविधान परन्तु एकात्मक प्रणाली की ओर झुकाव (Federal Constitution with Unitary Bias) यद्यपि हमारे संविधान में किसी अनुच्छेद द्वारा ‘संघ’ शब्द का प्रयोग नहीं किया गया, फिर भी मूल रूप में भारतीय संविधान भारत में संघात्मक सरकार की स्थापना करता है। संविधान की धारा 1 में कहा गया है कि “भारत राज्यों का एक संघ है।” (India is a Union of States) इस समय भारत में 29 राज्य और 7 संघीय क्षेत्र हैं जिसमें राष्ट्रीय राजधानी क्षेत्र दिल्ली भी शामिल है। इसमें संघात्मक शासन व्यवस्था की सभी बातें पाई जाती हैं-

• भारत का संविधान लिखित तथा कठोर है।
• भारत का संविधान सर्वोच्च कानून है।
• केन्द्र और राज्यों में शक्तियों का बंटवारा करने के लिए तीन सूचियों का वर्णन किया गया है।
• न्यायपालिका को सर्वोच्च स्थान प्राप्त है। केन्द्र और राज्यों के झगड़ों तथा राज्यों के परस्पर झगड़ों का निर्णय सर्वोच्च न्यायालय द्वारा किया जाता है।
• संसद् के दो सदन हैं-लोकसभा तथा राज्यसभा। लोकसभा सारे देश का प्रतिनिधित्व करती है जबकि राज्यसभा राज्यों का प्रतिनिधित्व करती है।

इस प्रकार भारत के संविधान में संघात्मक सरकार की सभी विशेषताएं पाई जाती हैं, परन्तु इसके बावजूद भी हमारे संविधान का झुकाव एकात्मक स्वरूप की ओर है। यह प्रायः कहा जाता है कि “भारतीय संविधान आकार में संघात्मक है और भावना में एकात्मक है।” (“Indian Constitution is federal in form but unitary in spirit.”) व्हीयर (Wheare) का कहना है कि, “भारतीय संविधान ने अर्ध-संघीय शासन प्रणाली की व्यवस्था की है।” निम्नलिखित कारणों के कारण संविधान का झुकाव एकात्मक स्वरूप की ओर है-

• केन्द्र के पास राज्यों की अपेक्षा अधिक शक्तियां हैं । केन्द्रीय-सूची में 97 विषय हैं, जबकि राज्य-सूची में 66 विषय हैं।
• समवर्ती-सूची में 47 विषय हैं। केन्द्र और राज्यों को इस सूची में दिए गए विषयों पर कानून बनाने का अधिकार है यदि इन विषयों पर केन्द्र और राज्य सरकारें दोनों कानून बनाती हैं तो केन्द्र का ही कानून लागू होता है।
• अवशेष शक्तियां केन्द्रीय सरकार के पास हैं।
• यदि राज्यसभा दो-तिहाई बहुमत से यह प्रस्ताव पास कर दे कि राज्य-सूची में दिया गया कोई विषय राष्ट्रीय महत्त्व का है तो संसद् उस पर एक वर्ष के लिए कानून पास कर सकती है।
• संकटकाल में संविधान का संघात्मक स्वरूप एकात्मक स्वरूप में बदल जाता है।
• संसद् राज्यों की सीमाओं में परिवर्तन कर सकती है।
• राज्यों को अपना संविधान बनाने का अधिकार नहीं है।
• नागरिकों को केवल भारत की नागरिकता प्राप्त है।
• राज्य वित्तीय सहायता के लिए केन्द्र पर निर्भर करते हैं।
• सारे देश के लिए आर्थिक और सामाजिक योजनाएं बनाने का अधिकार केन्द्रीय सरकार के पास है।
• संविधान में संशोधन की विधि बहुत कठोर नहीं है।
  यद्यपि भारत के संविधान में संघात्मक सरकार की सभी विशेषताएं पाई जाती हैं, परन्तु इसके बावजूद भी हमारे संविधान का झुकाव एकात्मक स्वरूप की ओर है।

10. संसदीय सरकार (Parliamentary form of Government) भारतीय संविधान ने भारत में संसदीय शासन प्रणाली की व्यवस्था की है। राष्ट्रपति राज्य का अध्यक्ष है, परन्तु उसकी शक्तियां नाम-मात्र हैं, वास्तविक नहीं। राष्ट्रपति अपनी शक्तियों का प्रयोग मन्त्रिपरिषद् की सलाह से ही करता है और मन्त्रिपरिषद् का संसद् के साथ घनिष्ठ सम्बन्ध है। मन्त्री संसद् सदस्यों में से लिए जाते हैं और वे अपने कार्यों के लिए संसद् के निम्न सदन और लोकसभा के प्रति उत्तरदायी हैं। लोकसभा अविश्वास प्रस्ताव पास करके मन्त्रिपरिषद् को जब चाहे अपदस्थ कर सकती है अर्थात् मन्त्रिपरिषद् लोकसभा के प्रसाद-पर्यन्त ही अपने पद पर रह सकती है।

11. द्वि-सदनीय विधानमण्डल (Bicameral Legislature)-हमारे संविधान की एक अन्य विशेषता यह है कि इसके द्वारा केन्द्र में द्वि-सदनीय विधानमण्डल की स्थापना की गई है। संसद् के निम्न सदन को लोकसभा (Lok Sabha) तथा ऊपरि सदन को राज्यसभा (Rajya Sabha) कहा जाता है। लोकसभा की कुल अधिकतम संख्या 552 हो सकती है परन्तु आजकल 545 सदस्य हैं। राज्यसभा की अधिकतम संख्या 250 हो सकती है परन्तु आजकल 245 सदस्य हैं। लोकसभा की शक्तियां और अधिकार राज्यसभा की शक्तियों और अधिकारों से अधिक हैं।

12. मौलिक अधिकार (Fundamental Rights)-भारतीय संविधान की एक महत्त्वपूर्ण विशेषता यह है कि संविधान के तीसरे भाग में भारतीयों को 6 मौलिक अधिकार प्रदान किए गए हैं। ये अधिकार हैं-(i) समानता का अधिकार, (ii) स्वतन्त्रता का अधिकार, (iii) शोषण के विरुद्ध अधिकार, (iv) धार्मिक स्वतन्त्रता का अधिकार, (1) सांस्कृतिक तथा शिक्षा सम्बन्धी अधिकार तथा (vi) संवैधानिक उपचारों का अधिकार। इसके द्वारा नागरिकों को जाति, धर्म, रंग, जन्म, लिंग आदि के आधार पर बने भेदभाव के बिना समान घोषित किया गया है और उन्हें कई प्रकार की स्वतन्त्रताएं प्रदान की गई हैं जैसा कि भाषण देने, अपने विचार प्रकट करने, घूमने-फिरने, सभा व समुदाय बनाने, कोई भी व्यवसाय करने का अधिकार। धार्मिक स्वतन्त्रता के साथ ही उन्हें अपनी इच्छानुसार शिक्षा ग्रहण करने तथा अपनी भाषा व संस्कृति की रक्षा व विकास करने का अधिकार भी दिया गया है।

नागरिकों को शोषण के विरुद्ध भी अधिकार दिया गया है। कोई भी सरकार इन अधिकारों का उल्लंघन नहीं कर सकती तथा उच्च न्यायालयों व सर्वोच्च न्यायालय को इनकी रक्षा के लिए पर्याप्त अधिकार व शक्तियां प्रदान की गई हैं। न्यायालय किसी भी कानून या सरकारी आदेश को जो इन अधिकारों के विरुद्ध हो, रद्द कर सकते हैं और प्रत्येक नागरिक को यह अधिकार है कि वह अपने इन अधिकारों की रक्षा के लिए उच्च तथा सर्वोच्च न्यायालय का द्वार खटखटा सकता है। अब तक मौलिक अधिकारों का उल्लंघन करने वाले बहुत से कानून अवैध घोषित किए जा चुके हैं। इन अधिकारों को लागू करना सरकार का कर्तव्य है। 1967 में गोलकनाथ केस के फैसले में सर्वोच्च न्यायालय ने संसद् को मौलिक अधिकारों में संशोधन करने के अधिकार से वंचित कर दिया था, परन्तु संविधान के 24वें संशोधन के अनुसार संसद् को पुन: यह अधिकार देने की व्यवस्था की गई है तथा सर्वोच्च न्यायालय ने अपने पूर्व निर्णय (गोलकनाथ के केस में) को रद्द करते हुए संसद् के इस अधिकार को वैध घोषित कर दिया है।

13. मौलिक कर्त्तव्य (Fundamental Duties)_42वें संशोधन द्वारा संविधान में ‘मौलिक कर्त्तव्यों’ के नाम पर चतुर्थ भाग-ए (Part IV-A) शामिल किया गया है। इसमें नागरिकों के 11 कर्तव्यों का वर्णन किया गया है जो कि इस प्रकार हैं-

• संविधान का पालन करना तथा उसके आदर्शों, संस्थाओं, राष्ट्रीय झण्डे और राष्ट्रीय गान का सम्मान करना।
• स्वतन्त्रता संग्राम को प्रेरित करने वाले उच्च आदर्शों को बनाए रखना और उनका पालन करना।
• भारत की प्रभुसत्ता, एकता और अखण्डता में विश्वास रखना तथा उसकी रक्षा करना।
• देश की सुरक्षा करना और आवश्यकता पड़ने पर राष्ट्रीय सेवा करना।
• भारत के सभी लोगों में मेल-मिलाप और बन्धुत्व की भावना का विकास करना तथा ऐसी रीतियों को त्यागना जो त्रियों की प्रतिष्ठा के विरुद्ध हों।
• राष्ट्र की मिली-जुली संस्कृति की सम्पन्न परम्परा का आदर करना और उसे सुरक्षित रखना।
• प्राकृतिक वातावरण को सुरक्षित रखना और उसे उन्नत करना तथा सभी जीवित प्राणियों के प्रति दया की भावना रखना।
• दृष्टिकोण में वैज्ञानिकता, मानवता, जिज्ञासा और सुधार की भावना को विकसित करना।
• सार्वजनिक सम्पत्ति को सुरक्षित रखना और हिंसा से बचना।
• व्यक्तिगत तथा सामूहिक क्रिया-कलापों के सभी क्षेत्रों में ऊंचा उठाने का प्रयत्न करना।
• छ: साल से 14 साल की आयु के बच्चे के माता-पिता या अभिभावक अथवा संरक्षक द्वारा अपने बच्चे को शिक्षा दिलाने के लिए अवसर उपलब्ध कराना।

14. राज्यनीति के निर्देशक सिद्धान्त (Directive Principles of State Policy) भारतीय संविधान की एक महत्त्वपूर्ण विशेषता यह है कि संविधान के चौथे भाग में अनुच्छेद 36 से 51 तक राज्यनीति के निर्देशक सिद्धान्तों का वर्णन किया गया है। राज्यनीति के निर्देशक सिद्धान्तों का अभिप्राय यह है कि केन्द्रीय तथा राज्य सरकारों के लिए संविधान में कुछ आदर्श रखे गए हैं ताकि उनके अनुसार अपनी नीति का निर्माण करके जनता की भलाई के लिए कुछ कर सके। यदि इन सिद्धान्तों को लागू किया जाए तो भारत का सामाजिक, राजनीतिक तथा आर्थिक विकास बहुत शीघ्र हो सकता है।

15. स्वतन्त्र न्यायपालिका (Independent Judiciary)-भारत के संविधान में स्वतन्त्र न्यायपालिका की व्यवस्था की गई है। भारत के संविधान में उन सभी बातों का वर्णन किया गया है जो स्वतन्त्र न्यायपालिका के लिए आवश्यक हैं। सर्वोच्च न्यायलय तथा राज्यों के उच्च न्यायालयों के न्यायाधीशों की नियुक्ति राष्ट्रपति सम्बन्धित अधिकारियों की सलाह से करता है। राष्ट्रपति इन न्यायाधीशों को अपनी इच्छा से नहीं हटा सकता। सर्वोच्च न्यायालय तथा उच्च न्यायालयों के न्यायाधीशों को संसद् महाभियोग द्वारा ही हटा सकती है। इस प्रकार न्यायाधीशों की नौकरी सुरक्षित की गई। न्यायाधीशों का कार्यकाल भी निश्चित आयु पर आधारित है। सर्वोच्च न्यायलय का न्यायाधीश 65 वर्ष तथा राज्यों के उच्च न्यायालयों के न्यायाधीश 62 वर्ष की आयु में रिटायर होते हैं। न्यायाधीशों को बहुत अच्छा वेतन दिया जाता है तथा रिटायर होने के पश्चात् पेंशन भी दी जाती है।

सर्वोच्च न्यायालय के मुख्य न्यायाधीश को 2,80,000 रुपए मासिक वेतन तथा अन्य न्यायाधीशों को 2,50,000 हज़ार रुपए मासिक वेतन मिलता है जबकि उच्च न्यायालय के मुख्य न्यायाधीशों को 2,50,000 और अन्य न्यायाधीशों को 2,25,000 रुपए मासिक वेतन मिलता है। न्यायाधीशों के वेतन और भत्ते उनके कार्यकाल में कम नहीं किए जा सकते। ऐसी व्यवस्था इसलिए की गई है ताकि न्यायाधीश सरकार के विरुद्ध बिना किसी डर के निर्णय दे सकें। सर्वोच्च न्यायालय के न्यायाधीशों तथा उच्च न्यायालयों के न्यायाधीशों की योग्यताओं का वर्णन संविधान में किया गया है। सर्वोच्च न्यायालय के न्यायाधीश रिटायर होने के पश्चात् किसी न्यायालय में वकालत नहीं कर सकते और उच्च न्यायालय के न्यायाधीश उस न्यायालय में वकालत नहीं कर सकते जहां से वे रिटायर हुए हों।

16. न्यायिक पुनर्निरीक्षण (Judicial Review)-न्यायिक पुनर्निरीक्षण का अर्थ है कि सर्वोच्च न्यायालय तथा उच्च न्यायालय संसद् द्वारा बनाए गए कानूनों तथा राज्य विधानमण्डलों के बनाए हुए कानून की संवैधानिक जांचपड़ताल कर सकती है और यदि कानून संविधान के विरुद्ध हो तो उसे अवैध घोषित कर सकती है। सर्वोच्च न्यायालय द्वारा असंवैधानिक घोषित किया गया कोई भी कानून, अध्यादेश, आदेश या सन्धि अवैध मानी जाती है और सरकार उसे लागू नहीं कर सकती। सर्वोच्च न्यायालय ने अपने इस अधिकार का इस्तेमाल कई बार किया है।

17. इकहरी नागरिकता (Single Citizenship) भारत में नागरिकों को एक ही नागरिकता प्राप्त है। सभी नागरिक चाहे वे किसी राज्य के हों, भारत के नागरिक हैं। नागरिकों को अपने राज्य की नागरिकता प्राप्त नहीं है।
18. वयस्क मताधिकार (Adult Franchise)-भारत के संविधान की एक अन्य विशेषता व्यस्क मताधिकार है। 61वें संशोधन एक्ट के अनुसार प्रत्येक नागरिक को जिसकी आयु 18 वर्ष अथवा इससे अधिक हो बिना किसी भेदभाव के वोट डालने का अधिकार प्राप्त है।

19. संयुक्त चुनाव प्रणाली (Joint Electorate System)-साम्प्रदायिक चुनाव प्रणाली को समाप्त करके संयुक्त चुनाव प्रणाली की व्यवस्था की गई है। अब सभी सम्प्रदाय मिलजुल कर अपने प्रतिनिधियों का चुनाव करते हैं।

20. कानून का शासन (Rule of Law)-भारत के संविधान की यह विशेषता है कि इसके द्वारा कानून के शासन की स्थापना की गई है। कानून के सम्मुख सभी नागरिक समान हैं, कोई व्यक्ति कानून से ऊपर नहीं है। अमीर-गरीब, पढ़े-लिखे तथा अनपढ़, शक्तिशाली तथा कमज़ोर सभी देश के कानून के सामने समान हैं कानून से कोई ऊंचा नहीं है।

21. अल्पसंख्यकों, अनुसूचित व पिछड़ी जातियों तथा कबीलों का संरक्षण (Protection of Minorities, Scheduled and Backward Classes and Tribes)—भारत के संविधान की अन्य विशेषता यह है कि इसमें एक ओर तो समानता की घोषण की गई है और दूसरी ओर इसमें अल्पसंख्यकों, अनुसूचित व पिछड़ी हुई जातियों तथा कबीलों के हितों के संरक्षण के लिए विशेष धाराओं की व्यवस्था की गई है। संसद् तथा राज्यों के विधानमण्डलों में अनुसूचित तथा पिछड़ी जातियों के लिए कुछ स्थान सुरक्षित रखे जाते हैं। 95वें संशोधन द्वारा इस अवधि को 2020 ई० तक कर दिया गया है।

22. कल्याणकारी राज्य (Welfare State) भारत को कल्याणकारी राज्य घोषित किया गया है। उद्देश्य प्रस्ताव, संविधान की प्रस्तावना, मौलिक अधिकार तथा राज्य के निर्देशक सिद्धान्तों को पढ़ कर यह स्पष्ट हो जाता है कि संविधान निर्माताओं का उद्देश्य भारत में एक ऐसा कल्याणकारी राज्य स्थापित करना था जिसमें व्यक्ति के लिए आर्थिक, राजनीतिक तथा सामाजिक सुरक्षा की व्यवस्था की जा सके।

23. विश्व शान्ति तथा अन्तर्राष्ट्रीय सुरक्षा का समर्थक (Advocate of World Peace and International Security) भारतीय संविधान विश्व शान्ति का प्रबल समर्थक है। राज्यनीति के निर्देशक सिद्धान्तों में स्पष्ट लिखा गया है कि भारत राष्ट्रों के बीच न्याय तथा समानतापूर्ण सम्बन्ध स्थापित करने की चेष्टा करेगा, अन्तर्राष्ट्रीय शान्ति तथा सुरक्षा बनाये रखने के लिए विधि तथा सन्धि बन्धनों के प्रति आदर का निर्माण करेगा और अन्तर्राष्ट्रीय विवादों को मध्यस्थता के द्वारा हल करने का प्रयत्न करेगा। व्यवहार में भी भारत सरकार ने अन्तर्राष्ट्रीय शान्ति को बनाये रखने के लिए अनेक प्रयास किये हैं।

24. एक सरकारी भाषा (One Official Language) भारत में अनेक भाषाएं बोली जाती हैं, इसलिए संविधान में 22 भाषाओं को मान्यता दी गई है। हिन्दी को देवनागरी लिपि में संघ सरकार की सरकारी (Official) भाषा घोषित किया गया है।

25. छुआछूत की समाप्ति (Abolition of Untouchability)-भारतीय संविधान की यह विशेषता है कि इसके अनुच्छेद 17 द्वारा छुआछूत को समाप्त कर दिया गया है। जो व्यक्ति छुआछूत की समाप्ति के विरुद्ध बोलता है उसे कानून के अनुसार दण्ड दिया जा सकता है।

निष्कर्ष (Conclusion)-उपर्युक्त विशेषताओं के आधार पर यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि यह संविधानों में एक अनूठा संविधान है। न्यायाधीश पी० वी० मुखर्जी के अनुसार, “यद्यपि हमारे संविधान ने विश्व के संवैधानिक प्रयोगों से बहुत-सी बातों को लिया है, केवल यही नहीं बल्कि अपने चरित्र और समन्वय में यह अनूठा संविधान है।” संविधान निर्माताओं का उद्देश्य कोई मौलिक या अद्वितीय संविधान बनाना नहीं था बल्कि वे एक अच्छा तथा कार्यसाधक संविधान बनाना चाहते थे।

प्रश्न 2.
भारतीय संविधान में संशोधन करने के विभिन्न तरीकों का वर्णन करें।
(Describe the various methods of amending the Indian Constitution.)
उत्तर-
प्रत्येक राज्य का संविधान एक निश्चित समय पर तैयार किया जाता है, परन्तु समय के अनुसार देश की सामाजिक, राजनीतिक एवं आर्थिक परिस्थितियां बदलती रहती हैं। एक अच्छा संविधान वही होता है जिसे परिस्थितियों के अनुकूल परिवर्तित किया जा सके। इसलिए प्रत्येक लिखित संविधान में संशोधन की प्रक्रिया का स्पष्ट उल्लेख कर दिया जाता है। ___ संविधान को संशोधित करने की प्रक्रिया का वर्णन अनुच्छेद 368 में किया गया है। अनुच्छेद के अनुसार संविधान में संशोधन करने के लिए दो विधियों का वर्णन किया गया है, परन्तु भारतीय संविधान में निम्नलिखित तीन विधियों द्वारा संशोधन किया गया है-

1. संसद् द्वारा साधारण बहुमत से संशोधन ;
2. संसद् द्वारा दो तिहाई बहुमत से संशोधन ;
3. संसद् के विशेष बहुमत तथा कम-से-कम आधे राज्यों के विधानमण्डलों की स्वीकृति से संशोधन।

1.संसद द्वारा साधारण बहुमत से संशोधन (Amendment by the Parliament by a Simple Majority)संविधान की कुछ धाराएं ऐसी हैं जिन्हें भारतीय संसद् उसी प्रकार से और उतनी ही आसानी से बदल सकती है जितना कि ब्रिटिश संसद् ब्रिटिश संविधान को अर्थात् संसद् साधारण बहुमत से संविधान के कुछ भाग में संशोधन कर सकती है। इसमें मुख्य विषय सम्मिलित हैं-नए राज्यों का निर्माण, राज्यों की सीमाओं में परिवर्तन करना, नागरिकता की प्राप्ति और समाप्ति, सर्वोच्च न्यायालय का क्षेत्राधिकार बढ़ना इत्यादि।

2. संसद् द्वारा दो-तिहाई बहुमत से संशोधन (Amendment by the Parliament by a two-third Majority) संविधान की कुछ धाराएं ऐसी हैं जिन्हें संसद् दो-तिहाई बहुमत से संशोधन कर सकती है। संविधान के अनुच्छेद 368 में स्पष्ट कहा गया है कि संविधान में संशोधन का प्रस्ताव संसद् के किसी भी सदन में पेश किया जा सकता है। दोनों सदनों में सदन की कुल संख्या के बहुमत तथा उपस्थित व मत देने वाले सदस्यों के दो-तिहाई बहुमत से पास होने के बाद वह संशोधन प्रस्ताव राष्ट्रपति की स्वीकृति के लिए भेजा जाएगा और स्वीकृति मिलने पर ही संविधान इस प्रस्ताव की धाराओं के अनुसार संशोधित समझा जायेगा लोकसभा और राज्यसभा को संवैधानिक संशोधन के क्षेत्र में बिल्कुल बराबर की शक्तियां प्राप्त हैं।

3. संसद के विशेष बहुमत तथा राज्य विधानपालिका के अनुसमर्थन द्वारा संशोधन (Amendment by the special majority of Parliament and ratification by State Legislature) संविधान की कुछ धाराएं ऐसी भी हैं जिन्हें और भी कठोर बनाया गया है और जिसमें संसद् स्वतन्त्रतापूर्वक परिवर्तन नहीं कर सकती। संविधान के कुछ भाग में संसद् के दोनों सदनों के दो तिहाई बहुमत और आधे राज्यों के विधानमण्डलों के समर्थन से ही संशोधन किया जा सकता है। जिन विषयों में इस विधि से संशोधन किया जा सकता है उनमें मुख्य हैं-राष्ट्रपति का चुनाव और चुनाव विधि, केन्द्र और राज्यों के वैधानिक सम्बन्ध, संघीय सरकार और राज्य सरकारों की कार्यपालिका सम्बन्धी शक्तियों की सीमा इत्यादि।

संशोधन प्रक्रिया की आलोचना (Criticism of the Procedure of Amendment)-
भारतीय संविधान की संशोधन प्रक्रिया की आलोचना निम्नलिखित आधारों पर की जाती है-

• राज्य को संशोधन प्रस्ताव पेश करने का अधिकार नहीं-संविधान में संशोधन का प्रस्ताव केवल केन्द्रीय संसद् द्वारा ही पेश किया जा सकता है। राज्यों को संशोधन का समर्थन करते हुए ही अपनी राय देने का अधिकार है।
• सभी धाराओं में संशोधन करने के लिए राज्यों की आवश्यकता नहीं-संविधान की कुछ धाराओं पर ही आधे राज्यों के विधानमण्डलों के समर्थन की आवश्यकता है। संविधान का एक बहुत बड़ा भाग संसद् स्वयं ही संशोधित कर सकती है।
• राज्यों के अनुसमर्थन के लिए समय निश्चित नहीं-संविधान में इस बात का उल्लेख नहीं है कि किसी संशोधन प्रस्ताव पर राज्य के विधानमण्डल कितने समय के अन्दर अपना निर्णय दे सकते हैं।
• दोनों में मतभेद-भारतीय संविधान इस बारे में भी मौन है कि यदि संसद् के दोनों सदनों में किसी संशोधन प्रस्ताव पर मतभेद उत्पन्न हो जाए तो उसे कैसे सुलझाया जाएगा। ऐसी दशा में संशोधन प्रस्ताव रद्द समझा जाएगा या यह प्रस्ताव दोनों सदनों की संयुक्त बैठक में रखा जाएगा।
• संशोधन प्रस्ताव पर राष्ट्रपति की स्वीकृति-संविधान में इस बात का उल्लेख नहीं है कि क्या राष्ट्रपति को संशोधन के प्रस्ताव पर निषेधाधिकार (Veto-Power) प्राप्त है या नहीं। संविधान के 24वें संशोधन के अनुसार इस बात के विषय में जो सन्देह थे वे दूर कर दिए गए हैं। इस संशोधन के अनुसार संशोधन बिल पर राष्ट्रपति अपने हस्ताक्षर नहीं रोक सकता।
• जनमत संग्रह की व्यवस्था नहीं है-हमारे संविधान में कोई ऐसी व्यवस्था नहीं कि जिसके अनुसार जनता की इच्छा किसी अमुक प्रस्तावित संशोधन बिल पर ली जा सके अर्थात् संविधान में संशोधन जनता को पूछे बिना ही संसद् कर सकती है। आलोचकों का कहना है कि ऐसी व्यवस्था अन्यायपूर्ण एवं अलोकतन्त्रीय है।

निष्कर्ष (Conclusion)-उपर्युक्त दोषों के होते हुए भी भारतीय संविधान के बारे में हम इतना अवश्य कह सकते हैं कि यह एक ऐसा प्रलेख है जो काफ़ी सोच-विचार के बाद तैयार किया गया है और जिसे न तो इतनी आसानी से बदला जा सकता है कि यह सत्तारूढ़ दल के हाथों में खिलौना-मात्र बन कर रह जाए और न ही इतना कठोर है कि समय के अनुसार बदलती हुई आवश्यकताओं के अनुसार इसमें परिवर्तन न किया जा सके और यह अतीत की एक वस्तु बन कर रह जाए। हमारा संविधान न तो अमेरिकन संविधान की भान्ति कठोर है और न ही ब्रिटिश संविधान की तरह लचीला। प्रो० ह्वीयर (Wheare) ने ठीक ही कहा है कि, “भारतीय संविधान अधिक कठोर तथा अधिक लचीलापन के मध्य एक अच्छा सन्तुलन स्थापित करता है।”

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
संविधान का क्या अर्थ है ?
उत्तर-
संविधान ऐसे नियमों तथा सिद्धान्तों का समूह है, जिसके अनुसार शासन के विभिन्न अंगों का संगठन किया जाता है, उसको शक्तियां प्रदान की जाती हैं, उनके आपसी सम्बन्धों को नियमित किया जाता है तथा नागरिकों और राज्य के बीच सम्बन्ध स्थापित किये जाते हैं। इन नियमों के समूह को ही संविधान कहा जाता है।
पिनॉक (Pennock) और स्मिथ (Smith) के अनुसार, “संविधान केवल प्रक्रिया एवं तथ्यों का ही मामला नहीं बल्कि राजनीतिक शक्तियों के संगठनों का प्रभावशाली नियन्त्रण भी है एवं प्रतिनिधित्व, प्राचीन परम्पराओं तथा भविष्य की आशाओं का प्रतीक है।”

प्रश्न 2.
हमें संविधान की आवश्यकता क्यों होती है ?
उत्तर–
प्रत्येक राज्य में संविधान का होना आवश्यक है। संविधान के बिना राज्य का शासन नहीं चल सकता। इसीलिए संविधान के बिना एक राज्य-राज्य न होकर अराजकता का शासन होता है। संविधान का होना आवश्यक है ताकि शासन के विभिन्न अंगों की शक्तियां तथा कार्य निश्चित किए जा सकें। संविधान का होना आवश्यक है ताकि देश का शासन सिद्धान्तों तथा नियमों के अनुसार चलाया जा सके।

प्रश्न 3.
भारतीय संविधान का निर्माण किस द्वारा किया गया है ?
उत्तर-
भारत का संविधान एक संविधान सभा द्वारा बनाया गया है। भारत के लिए संविधान सभा की मांग सबसे पहले 1922 में महात्मा गांधी ने, 1935 में कांग्रेस ने और 1940 में मुस्लिम लीग ने भी अलग से संविधान सभा की मांग की थी। दूसरे विश्वयुद्ध के दौरान संविधान सभा के गठन की मांग तेज़ हो गई। ब्रिटिश सरकार ने भारतीय नेताओं की इस मांग को ध्यान में रखते हुए 15 मार्च, 1946 को कैबिनेट मिशन की स्थापना है। कैबिनेट मिशन ने अपनी योजनाओं में संविधान सभा की रचना के बारे में खुला वर्णन किया है। संविधान सभा में कुल 389 सदस्यों की व्यवस्था की गई। संविधान सभा की पहली बैठक 9 दिसम्बर, 1946 को बुलाई गई और काफी मेहनत और विचार-विमर्श के बाद 26 नवम्बर, 1949 को संविधान बन कर तैयार हो गया। 26 नवम्बर, 1949 को संविधान सभा के प्रधान ने मसौदे पर हस्ताक्षर कर दिए। 26 जनवरी, 1950 को यह संविधान लागू कर दिया गया।

प्रश्न 4.
भारतीय संविधान की किन्हीं चार विशेषताओं का वर्णन करो।
उत्तर-
भारतीय संविधान की मुख्य विशेषताएं निम्नलिखित हैं-

• लिखित एवं विस्तृत संविधान-भारत के संविधान की प्रथम विशेषता यह है कि यह लिखित एवं विस्तृत है। इसमें 395 अनुच्छेद तथा 12 अनुसूचियां हैं और इन्हें 22 भागों में बांटा गया है। इसे 2 वर्ष, 11 महीने तथा 18 दिनों के समय में बनाया गया।
• प्रस्तावना-प्रत्येक अच्छे संविधान की तरह भारतीय संविधान में भी प्रस्तावना दी गई है। इस प्रस्तावना में संविधान के मुख्य लक्ष्यों, विचारधाराओं तथा राज्य के उद्देश्यों का वर्णन किया गया है।
• सम्पूर्ण प्रभुत्व सम्पन्न, समाजवादी, धर्म-निरपेक्ष लोकतन्त्रात्मक गणराज्य की स्थापना- इसका अर्थ यह है कि भारत पूर्ण रूप से प्रभुता सम्पन्न है। इसका उद्देश्य समाजवादी समाज की स्थापना करना है। भारत धर्म-निरपेक्ष और लोकतन्त्रात्मक गणराज्य है।
• भारतीय संविधान की एक अन्य विशेषता वयस्क मताधिकार है।

प्रश्न 5.
धर्म-निरपेक्ष राज्य किसे कहते हैं ? क्या भारत एक धर्म-निरपेक्ष राज्य है ? व्याख्या करो।
उत्तर-
धर्म-निरपेक्ष राज्य वह राज्य है जिसका कोई राज्य धर्म नहीं होता। राज्य धार्मिक मामलों में हस्तक्षेप नहीं करता। राज्य न तो धार्मिक और न ही अधार्मिक और न ही धर्म-विरोधी होता है। धर्म के आधार पर नागरिकों के साथ भेद-भाव नहीं किया जाता। सभी धर्म के लोगों को समान रूप से बिना किसी भेद-भाव के अधिकार दिए जाते हैं।

42वें संशोधन द्वारा प्रस्तावना में धर्म-निरपेक्ष शब्द जोड़ कर भारत को स्पष्ट रूप से धर्म-निरपेक्ष राज्य घोषित किया गया है। राज्य का अपना कोई धर्म नहीं है और न ही राज्य धर्म को महत्त्व देता है। सभी धर्म समान हैं। किसी धर्म को विशेषाधिकार प्राप्त नहीं है। सरकारी स्कूलों और कॉलेजों में धार्मिक शिक्षा नहीं दी जा सकती है। प्रत्येक व्यक्ति अपनी इच्छानुसार किसी भी धर्म का पालन कर सकता है। सभी धर्मों को प्रचार एवं उन्नति के लिए समान अधिकार प्रदान किए गए हैं। साम्प्रदायिक चुनाव प्रणाली का अन्त कर दिया गया है।

प्रश्न 6.
भारतीय संविधान की सफलता के लिए चार उत्तरदायी तत्त्वों का वर्णन करें।
उत्तर-
भारतीय संविधान की सफलता के मुख्य कारण निम्नलिखित हैं-

• देश की परिस्थतियों के अनुकूल–भारतीय संविधान की सफलता का महत्त्वपूर्ण कारण यह है कि संविधान निर्माताओं ने देश की परिस्थितियों को ध्यान में रखकर संविधान बनाया।
• लिखित तथा विस्तृत संविधान-लिखित तथा विस्तृत संविधान के कारण जनता के प्रतिनिधियों, शासकों तथा सरकारी कर्मचारियों को शासन चलाते हुए पथ-प्रदर्शन के लिए इधर-उधर भटकना नहीं पड़ता बल्कि हर प्रकार की सलाह और मार्गदर्शन संविधान से ही मिल जाता है।
• विश्व के संविधान की अच्छी बातों को ग्रहण करना-भारतीय संविधान में अन्य देशों के संविधानों के अच्छे सिद्धान्तों तथा गुणों को सम्मिलित किया गया है।
• भारतीय संविधान सभी धर्मों, समुदायों एवं वर्गों को साथ लेकर चलता है।

प्रश्न 7.
भारतीय संविधान 26 जनवरी, 1950 को ही क्यों लागू किया गया ?
अथवा
26 जनवरी का क्या महत्त्व है ?
उत्तर-
भारत का संविधान 26 जनवरी, 1950 को लागू किया गया। 26 जनवरी का दिन भारत के इतिहास में एक विशेष महत्त्व रखता है। दिसम्बर, 1929 में कांग्रेस ने पण्डित जवाहर लाल नेहरू की अध्यक्षता में हुए लाहौर अधिवेशन में भारत के लिए पूर्ण स्वतन्त्रता की मांग का प्रस्ताव पास किया और 26 जनवरी, 1930 का दिन स्वतन्त्रता दिवस के रूप में निश्चित किया गया और इस दिन सभी भारतीयों ने देश को स्वतन्त्र कराने का प्रण लिया। इसके पश्चात् हर वर्ष 26 जनवरी का दिन स्वतन्त्रता दिवस के रूप में मनाया जाता रहा। इसलिए यद्यपि संविधान 26 नवम्बर, 1949 को तैयार हो गया था परन्तु इसको 26 जनवरी, 1950 को लागू किया गया।

प्रश्न 8.
भारतीय संविधान के विस्तृत होने के क्या कारण हैं ?
उत्तर-
भारतीय संविधान लिखित होने के साथ ही विश्व के अन्य देशों के संविधानों के मुकाबले बहुत विस्तृत है। हमारे संविधान में 395 अनुच्छेद, 12 अनुसूचियां हैं जिन्हें 22 भागों में बांटा गया है। भारतीय संविधान निम्नलिखित तथ्यों के कारण विशाल है-

• भारत में केन्द्र और राज्यों के लिए एक ही संयुक्त संविधान की व्यवस्था की गई है। प्रान्तों के लिए कोई पृथक् संविधान नहीं है।
• संविधान के तृतीय भाग में मौलिक अधिकारों की विस्तृत व्याख्या की गई है।
• संविधान के चौथे भाग में राजनीति के निर्देशक सिद्धान्त शामिल किए गए हैं।
• संविधान के 18वें भाग में अनुच्छेद 352 से लेकर 360 तक राष्ट्रपति की संकटकालीन शक्तियों की व्यवस्था की गई है।

प्रश्न 9.
भारतीय संविधान में संशोधन करने के विभिन्न तरीकों का संक्षिप्त वर्णन करें।
उत्तर-
अनुच्छेद 368 के अन्तर्गत संविधान में संशोधन करने के लिए दो विधियों का वर्णन किया है। परन्तु भारतीय संविधान में निम्नलिखित तीन विधियों द्वारा संशोधन किया जा सकता है-

1. संसद् द्वारा साधारण बहुमत से संशोधन-संविधान की कुछ धाराएं ऐसी हैं जिन्हें भारतीय संसद् उसी प्रकार से और उतनी ही आसानी से बदल सकती है जितना कि ब्रिटिश संविधान को अर्थात् उनमें साधारण बहुमत से संशोधन किया जा सकता है।
2. संसद् द्वारा दो-तिहाई बहुमत से संशोधन-संविधान की कुछ धाराएं ऐसी हैं जिनमें संसद् दो-तिहाई बहुमत से संशोधन कर सकती है। दोनों सदनों के सदस्यों की कुल संख्या के बहुमत तथा उपस्थित और मत देने वाले दो तिहाई सदस्यों की स्वीकृति के पश्चात् संशोधन प्रस्ताव राष्ट्रपति के पास भेजा जाता है तथा राष्ट्रपति द्वारा स्वीकृति मिलने के पश्चात् ही उन धाराओं को संशोधित किया जाता है।
3. संसद् के विशेष बहुमत तथा आधे राज्य विधानमण्डलों के अनुसमर्थन द्वारा संशोधन-संविधान की कुछ धाराएं ऐसी भी हैं जिन्हें और भी कठोर बनाया गया है और जिनमें संसद् स्वतन्त्रतापूर्वक परिवर्तन नहीं कर सकती। संविधान के कुछ भाग में संसद् के दो-तिहाई बहुमत और आधे राज्यों के विधानमण्डलों के समर्थन से ही संशोधन किया जा सकता है।

प्रश्न 10.
भारतीय संविधान में संशोधन प्रक्रिया के किन्हीं चार आधारों पर आलोचना करें।
उत्तर-
भारतीय संविधान की संशोधन प्रक्रिया की आलोचना निम्नलिखित आधारों पर की जाती है-

1. राज्य को संशोधन प्रस्ताव पेश करने का अधिकार नहीं-संविधान में संशोधन का प्रस्ताव केवल केन्द्रीय संसद् द्वारा ही पेश किया जा सकता है। राज्यों को संशोधन का समर्थन करते हुए ही अपनी राय देने का अधिकार है।
2. सभी धाराओं में संशोधन करने के लिए राज्यों की आवश्यकता नहीं-संविधान की कुछ धाराओं पर ही आधे राज्यों के विधानमण्डलों के समर्थन की आवश्यकता है। संविधान का एक बहुत बड़ा भाग संसद् स्वयं ही संशोधित कर सकती है।
3. राज्यों के अनुसमर्थन के लिए समय निश्चित नहीं-संविधान में इस बात का उल्लेख नहीं है कि किसी संशोधन प्रस्ताव पर राज्य के विधानमण्डल कितने समय के अन्दर अपना निर्णय दे सकते हैं।
4. दोनों में मतभेद-भारतीय संविधान इस बारे में भी मौन है कि यदि संसद् के दोनों सदनों में किसी संशोधन प्रस्ताव पर मतभेद उत्पन्न हो जाए तो उसे कैसे सुलझाया जाएगा। ऐसी दशा में संशोधन प्रस्ताव रद्द समझा जाएगा या यह प्रस्ताव दोनों सदनों की संयुक्त बैठक में रखा जाएगा।

प्रश्न 11.
भारतीय संविधान की संशोधन प्रक्रिया की विशषताएं बताएं।
उत्तर-

• संविधान के प्रत्येक भाग में संशोधन किया जा सकता है। केशवानन्द भारती और मिनर्वा मिल्स के मुकद्दमे में सर्वोच्च न्यायालय ने यह निर्णय दिया कि संसद् संविधान के बुनियादी ढांचे में परिवर्तन नहीं कर सकती।
• भारतीय संविधान लचीला और कठोर भी है।
• संवैधानिक संशोधन बिल संसद् के किसी भी सदन में पेश किया जा सकता है।
• राज्य विधान मण्डल को संशोधन का प्रस्ताव पेश करने का कोई अधिकार नहीं है।
• संवैधानिक संशोधन सम्बन्धी दोनों सदनों की शक्तियां बराबर हैं।
• संवैधानिक संशोधन को न्यायालय में चुनौती दी जा सकती है।

प्रश्न 12.
“भारतीय संविधान लचीला और कठोर भी है।” व्याख्या कीजिए।
उत्तर-
भारतीय संविधान की एक महत्त्वपूर्ण विशेषता यह है कि यह न तो पूर्णतः लचीला है और न ही पूर्णतः कठोर है। लचीला संविधान उसे कहा जाता है जिसमें संशोधन उतनी ही सरलता से किया जा सकता है जितनी सरलता से कोई कानून बनाया जा सकता है। भारतीय संविधान की कुछ धाराओं को, जैसे कि राज्यों के नाम बदलना, उनकी सीमाओं में परिवर्तन करना, राज्यों में विधान परिषद् को बनाना या उसे समाप्त करना आदि को संसद् के दोनों सदनों द्वारा उपस्थित सदस्यों के साधारण बहुमत से बदला जा सकता है। इस तरह भारतीय संविधान लचीला है। संविधान की कुछ धाराओं को बदलने के लिए संसद् के दोनों सदनों का दो-तिहाई बहुमत आवश्यक है। इस प्रक्रिया के अनुसार संविधान कुछ कठोर हो गया है, परन्तु संघात्मक प्रणाली की आवश्यकताओं को देखते हुए इस अवस्था को भी लचीला कहा जा सकता है।
परन्तु कुछ महत्त्वपूर्ण धाराओं को बदलने के लिए संसद् को दो-तिहाई बहुमत के बाद कम-से-कम आधे राज्यों के विधानमण्डलों द्वारा संशोधन प्रस्ताव पर समर्थन प्राप्त होना आवश्यक है। यह तरीका बड़ा कठोर है और इसको देखते हुए संविधान को कठोर कहा गया है।

अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
भारतीय संविधान की किन्हीं दो विशेषताओं का वर्णन करो।
उत्तर-

1. लिखित एवं विस्तृत संविधान-भारत के संविधान की प्रथम विशेषता यह है कि यह लिखित एवं विस्तृत है। इसमें 395 अनुच्छेद तथा 12 अनुसूचियां हैं और इन्हें 22 भागों में बांटा गया है। इसे 2 वर्ष, 11 महीने तथा 18 दियं के समय में बनाया गया।
2. प्रस्तावना-प्रत्येक अच्छे संविधान की तरह भारतीय संविधान में भी प्रस्तावना दी गई है। इस प्रस्तावना में संविधान के मुख्य लक्ष्यों, विचारधाराओं तथा राज्य के उद्देश्यों का वर्णन किया गया है।

प्रश्न 2.
26 जनवरी का क्या महत्त्व है ?
उत्तर-
भारत का संविधान 26 जनवरी, 1950 को लागू किया गया। 26 जनवरी का दिन भारत के इतिहास में एक विशेष महत्त्व रखता है। दिसम्बर, 1929 में कांग्रेस ने पण्डित जवाहर लाल नेहरू की अध्यक्षता में हुए लाहौर अधिवेशन में भारत के लिए पूर्ण स्वतन्त्रता की मांग का प्रस्ताव पास किया और 26 जनवरी, 1930 का दिन स्वतन्त्रता दिवस के रूप में निश्चित किया गया और इस दिन सभी भारतीयों ने देश को स्वतन्त्र कराने का प्रण लिया। इसके पश्चाता हर वर्ष 26 जनवरी का दिन स्वतन्त्रता दिवस के रूप में मनाया जाता रहा। इसलिए यद्यपि संविधान 26 नवम्बर, 1949 को तैयार हो गया था परन्तु इसको 26 जनवरी, 1950 को लागू किया गया।

प्रश्न 3.
भारतीय संविधान के विस्तृत होने के दो कारण लिखें।
उत्तर-

1. भारत में केन्द्र और राज्यों के लिए एक ही संयुक्त संविधान की व्यवस्था की गई है। प्रान्तों के लिए कोई पृथक् संविधान नहीं है।
2. संविधान के तृतीय भाग में मौलिक अधिकारों की विस्तृत व्याख्या की गई है।

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न I. एक शब्द/वाक्य वाले प्रश्न-उत्तर-

प्रश्न 1. वर्तमान भारतीय संविधान में कुल कितनी अनुसूचियां हैं ?
उत्तर-वर्तमान भारतीय संविधान में कुल 12 अनुसूचियां हैं।

प्रश्न 2. वर्तमान संविधान में कुल कितने अनुच्छेद हैं ?
उत्तर-वर्तमान भारतीय संविधान में कुल 395 अनुच्छेद हैं।

प्रश्न 3. भारतीय संविधान के मौलिक ढांचे की धारणा का विकास किस मुकद्दमें में हुआ ?
उत्तर-भारतीय संविधान के मौलिक ढांचे की धारणा का विकास 23 अप्रैल, 1973 को स्वामी केशवानंद भारती के मुकद्दमें में हुआ।

प्रश्न 4. भारतीय संघ में कितने राज्य एवं संघीय क्षेत्र शामिल हैं ?
उत्तर-29 राज्य एवं 7 संघीय क्षेत्र।

प्रश्न 5. भारत में कौन-सी शासन प्रणाली है?
उत्तर-भारत में संसदीय शासन प्रणाली है।

प्रश्न 6. भारत में कितने वर्ष के आयु के नागरिक को वोट डालने का अधिकार है?
उत्तर-18 वर्ष।

प्रश्न 7. भारत की राष्ट्र भाषा क्या है?
उत्तर-भारत की राष्ट्र भाषा हिंदी है।

प्रश्न 8. भारत गणतन्त्र कब बना?
उत्तर-भारत गणतन्त्र 26 जनवरी, 1950 को बना।

प्रश्न 9. संविधान के किस अनुच्छेद में संशोधन विधि का वर्णन किया गया है?
उत्तर-अनुच्छेद 368 में।

प्रश्न II. खाली स्थान भरें-

1. 91वां संवैधानिक संशोधन ……….. में किया गया।
2. 61वें संशोधन द्वारा मताधिकार की आयु 21 वर्ष से घटाकर ………. कर दी गई।
3. 1985 में दल-बदल रोकने के लिए संविधान में ………….. संशोधन किया गया।
4. भारतीय संविधान …………. है।
5. संशोधन विधि का वर्णन संविधान के अनुच्छेद ……….. में किया गया।
उत्तर-

1. 2003
2. 18 वर्ष
3. 52वां
4. लिखित
5. 368.

प्रश्न III. निम्नलिखित में से सही एवं ग़लत का चुनाव करें।

1. जीवंत संविधान उसे कहा जाता है, जिसमें समयानुसार परिवर्तन नहीं होते।
2. भारतीय संविधान एक जीवंत संविधान है।
3. भारतीय संविधान विकसित एवं अलिखित है।
4. राजनीतिक दल-बदल की बुराई को दूर करने के लिए 1980 में 42वां संशोधन पास किया गया।
उत्तर-

1. ग़लत
2. सही
3. ग़लत
4. ग़लत !

प्रश्न IV. बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
भारत में वोट डालने का अधिकार—
(क) 18 वर्ष के नागरिक को प्राप्त है
(ख) 21 वर्ष के नागरिक को प्राप्त है
(ग) 25 वर्ष के नागरिक को प्राप्त है
(घ) 20 वर्ष के नागरिक को प्राप्त है।
उत्तर-
(क) 18 वर्ष के नागरिक को प्राप्त है

प्रश्न 2.
भारत की राष्ट्र भाषा
(क) हिंदी
(ख) तमिल
(ग) उर्दू
(घ) अंग्रेजी।
उत्तर-
(क) हिंदी

प्रश्न 3.
भारत का संविधान-
(क) संसार के सभी संविधानों से छोटा है
(ख) संसार में सबसे अधिक लंबा तथा विस्तृत है
(ग) जापान के संविधान से बड़ा और अमेरिका के संविधान से छोटा है
(घ) सोवियत संघ के संविधान से छोटा है।
उत्तर-
(ख) संसार में सबसे अधिक लंबा तथा विस्तृत है

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से कौन-सा वाक्य ग़लत सूचना देता है ?
(क) 1935 का एक्ट भारतीय संविधान का महत्त्वपूर्ण स्रोत है
(ख) संसदीय शासन प्रणाली ब्रिटिश शासन की देन है
(ग) अमेरिकन संविधान का भारत पर प्रभाव पड़ा है
(घ) पाकिस्तानी संविधान का भारत पर प्रभाव पड़ा है।
उत्तर-
(घ) पाकिस्तानी संविधान का भारत पर प्रभाव पड़ा है।

Punjab State Board PSEB 12th Class Maths Book Solutions Chapter 2 Inverse Trigonometric Functions Ex 2.1 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 12 Maths Chapter 2 Inverse Trigonometric Functions Ex 2.1

Direction (1-10):
Find the principal values of the following.
Question 1.
sin^-1 (- \(\frac{1}{2}\))
Solution.
Let sin^-1 (- \(\frac{1}{2}\)) = y
Then, sin y = – \(\frac{1}{2}\)
= – sin (\(\left(\frac{\pi}{6}\right)\))
= sin (- \(\left(\frac{\pi}{6}\right)\))
We know that the range of the principal value of sin^-1 y is
[latex]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[/latex] and sin[- \(\left(\frac{\pi}{6}\right)\)] = – \(\frac{1}{2}\)
Therefore, the principal value of sin^-1 (- \(\frac{1}{2}\)) is – \(\left(\frac{\pi}{6}\right)\).

Question 2.
cos^-1 (\(\frac{\sqrt{3}}{2}\))
Solution.
Let cos^-1 (\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)) = y.
Then, cos y = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = cos (\(\left(\frac{\pi}{6}\right)\))
We know that the range of the principal value of cos^-1 y is [0, π] and cos (\(\left(\frac{\pi}{6}\right)\)) = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Therefore, the principal value of cos^-1 (\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)) is \(\left(\frac{\pi}{6}\right)\).

Question 3.
cosec^-1 (2)
Solution.
Let cosec^-1 (2) = y. Then, cosec y = 2 = cosec (\(\left(\frac{\pi}{6}\right)\))
We know that the range of the principal value of cosec^-1 y is (\(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\)) – {0} and cosec (\(\left(\frac{\pi}{6}\right)\)) = 2.
Therefore, the principal value of cosec^-1 (2) is \(\left(\frac{\pi}{6}\right)\).

Question 4.
tan^-1 (- √3)
Solution.
Let tan^-1 (- √3) = y.
Then, tan y = – √3 = – tan \(\left(\frac{\pi}{3}\right)\) = tan (- \(\left(\frac{\pi}{3}\right)\))
We know that the range of the principal value of tan^-1 y is (\(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\)) and tan(- \(\left(\frac{\pi}{2}\right)\)) is – √3
Therefore, the principal value of tan^-1 (- √3) is – \(\frac{\pi}{3}\).

Question 5.
cos^-1 (- \(\frac{1}{2}\))
Solution.
Let cos^-1 (- \(\frac{1}{2}\)) = y. Then,
cos y = – \(\frac{1}{2}\) = – cos (\(\left(\frac{\pi}{3}\right)\))
= cos (π – \(\frac{\pi}{3}\)) = cos \(\left(\frac{2 \pi}{3}\right)\)
We know that the range of the principal value of cos^-1 y is [0, π] and cos \(\left(\frac{2 \pi}{3}\right)\) = – \(\frac{1}{2}\).
Therefore, the principal value of cos^-1 (- \(\frac{1}{2}\)) is \(\left(\frac{2 \pi}{3}\right)\).

Question 6.
tan^-1 (- 1)
Solution.
Let tan^-1 (- 1) = y.
Then, tan y = – 1 = – tan (\(\frac{\pi}{4}\)) = tan (- \(\frac{\pi}{4}\))
We know that the range of the principal value of tan^-1 y is (\(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\)) and tan (- \(\frac{\pi}{4}\)) = – 1.
Therefore, the principal value of tan^-1 (- 1) is (- \(\frac{\pi}{4}\))

Question 7.
sec^-1 (\(\frac{2}{\sqrt{3}}\))
Solution.
Let sec^-1 (\(\frac{2}{\sqrt{3}}\)) = y.
Then, sec y = \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) = sec (\(\frac{\pi}{6}\))
We know that the range of the principal value of sec^-1 y is [0, π] – {\(\frac{\pi}{2}\)} and sec (\(\frac{\pi}{6}\)) = \(\frac{2}{\sqrt{3}}\).
Therefore, the principal value of sec^-1 (\(\frac{2}{\sqrt{3}}\)) is \(\frac{\pi}{6}\).

Question 8.
cot^-1 (√3)
Solution.
Let cot^-1 (√3) = y. Then, cot y = √3 = cot (\(\frac{\pi}{6}\))
We know that the range of the principal value of cot^-1 y is (0, π) and cot (\(\frac{\pi}{6}\)) = √3
Therefore, the principal value of cot^-1 (√3) is \(\frac{\pi}{6}\).

Question 9.
cos^-1 (- \(\frac{1}{\sqrt{2}}\))
Solution.
Let cos^-1 (- \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)) = y. Then,
cos y = – \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = – cos (\(\frac{\pi}{4}\))
= cos(\(\pi-\frac{\pi}{4}\)) = cos(\(\frac{3 \pi}{4}\))
We know that the range of the principal value of cos^-1 y is [0, π] and cos (\(\frac{3 \pi}{4}\)) = – \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Therefore, the principal value of cos^-1 (- \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)) is \(\frac{3 \pi}{4}\).

Question 10.
cosec^-1 (√2)
Solution.
Let cosec^-1 (√2) = y.
Then, cosec y = – √2 = – cosec (\(\frac{\pi}{4}\)) = cosec (- \(\frac{\pi}{4}\))
We know that the range of the principal value of cosec^-1 y is
[\(-\frac{\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{2}\)] – {0} and cosec (- \(\frac{\pi}{4}\)) = – √2.
Therefore, the principal value of cosec^-1 (- √2) is – \(\frac{\pi}{4}\).

DirectIon (11 – 14): Find the value of the following.

Question 11.
tan^-1 (1) + cos^-1 (- \(\frac{1}{2}\)) + sin^-1 (- \(\frac{1}{2}\))
Solution.
Let tan^-1 (1) = x. Then, tan x = 1 = tan \(\frac{\pi}{4}\)
∴ tan^-1 (1) = \(\frac{\pi}{4}\)
Let cos^-1 (- \(\frac{1}{2}\)) = y.
Then, cos y = – \(\frac{1}{2}\)
= – cos (\(\frac{\pi}{3}\))
= cos (π – \(\frac{\pi}{3}\))
= cos \(\frac{2 \pi}{3}\)
∴ cos^-1 (- \(\frac{1}{2}\)) = \(\frac{2 \pi}{3}\)
Let sin^-1 (- \(\frac{1}{2}\)) = z.
Then, sin z = – \(\frac{1}{2}\)
= – sin (\(\frac{\pi}{6}\))
= sin (- \(\frac{\pi}{6}\))
∴ sin^-1 (- \(\frac{1}{2}\)) = – \(\frac{\pi}{6}\)
∴ tan^-1 (1) + cos^-1 (- \(\frac{1}{2}\)) + sin^-1 (- \(\frac{1}{2}\)) = \(\frac{\pi}{4}+\frac{2 \pi}{3}-\frac{\pi}{6}\)
= \(\frac{3 \pi+8 \pi-2 \pi}{12}=\frac{9 \pi}{12}=\frac{3 \pi}{4}\).

Question 12.
cos^-1 (\(\frac{1}{2}\)) + 2 sin^-1 \(\frac{1}{2}\)
Solution.
Let cos^-1 (\(\frac{1}{2}\)) = x.
Then, cos x = \(\frac{1}{2}\) = cos (\(\frac{\pi}{3}\)).
∴ cos^-1 (\(\frac{1}{2}\)) = \(\frac{\pi}{3}\)
Let sin^-1 (\(\frac{1}{2}\)) = y.
Then, sin y = \(\frac{1}{2}\) = sin (\(\frac{\pi}{6}\))
∴ sin^-1 (\(\frac{1}{2}\)) = \(\frac{\pi}{6}\)
∴ cos^-1 (\(\frac{1}{2}\)) + 2 sin^-1 (\(\frac{1}{2}\)) = \(\frac{\pi}{3}+\frac{2 \pi}{6}=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}=\frac{2 \pi}{3}\)

Question 13.
If sin^-1 x = y, then
(A) 0 ≤ y ≤ K
(B) \(-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}\)
(C) 0 < y < π
(D) \(-\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}\)
Solution.
It is given that sin^-1 x = y.
We know that the range of the principal value branch of sin^-1 is [latex]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[/latex]
Therefore, \(-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}\).
Hence, the correct option is (B).

Question 14.
tan^-1 √3 – sec^-1 (- 2) is equal to
(A) π
(B) – \(\frac{\pi}{3}\)
(C) \(\frac{\pi}{3}\)
(D) \(\frac{2 \pi}{6}\)
Solution.
Let tan^-1 √3 = x.
Then, tan x = √3 = tan \(\frac{\pi}{3}\)
We know that the range of the principal value of tan^-1 x is (\(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\))
∴ tan^-1 √3 = \(\frac{\pi}{3}\)
Let sec^-1 (- 2) = y.
Then, sec y = – 2 = – sec (\(\frac{\pi}{3}\))
= sec (π – \(\frac{\pi}{3}\)) = sec(\(\frac{2 \pi}{3}\))
Now, tan^-1 (√3) – sec^-1 (- 2) = \(\frac{\pi}{3}\) – \(\frac{2 \pi}{3}\)
= – \(\frac{\pi}{3}\)
Hence, correct option is (B).

Punjab State Board PSEB 11th Class Political Science Book Solutions Chapter 33 सर्वोच्च न्यायालय Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 11 Political Science Chapter 33 सर्वोच्च न्यायालय

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न-

प्रश्न 1.
भारत के उच्चतम न्यायालय का गठन किस प्रकार होता है ? भारत के उच्चतम न्यायालय के अधिकारों का वर्णन करो।
(How is the Supreme Court of India constituted ? Describe the powers of the Supreme Court.)
अथवा
भारत के सर्वोच्च न्यायालय की रचना, शक्तियों और कार्यों का वर्णन करो। (Discuss the composition, powers and functions of the Supreme Court of India.)
उत्तर-
केन्द्र तथा राज्यों के आपसी झगड़ों को निपटाने के लिए एक निष्पक्ष और स्वतन्त्र न्यायपालिका होना अनिवार्य है। इसके अतिरिक्त हमारे देश में संविधान को सर्वोच्च कानून माना गया है और नागरिकों को भी मौलिक अधिकार दिए गए हैं। संविधान की रक्षा और मौलिक अधिकारों की रक्षा के लिए स्वतन्त्र न्यायपालिका का और भी अधिक महत्त्व है। भारतीय संविधान के निर्माताओं ने निष्पक्ष और स्वतन्त्र न्यायपालिका के महत्त्व को समझते हुए भारतीय सुप्रीम कोर्ट की व्यवस्था की। सर्वोच्च न्यायालय की व्यवस्था संविधान के अनुच्छेद 124 में मिलती है।

रचना (Composition)-सर्वोच्च न्यायालय में पहले एक मुख्य न्यायाधीश और 7 अन्य न्यायाधीश होते थे। परन्तु दिसम्बर, 1977 में सर्वोच्च न्यायालय एक्ट में संशोधन करके सर्वोच्च न्यायालय की अधिकतम संख्या 17 निर्धारित की गई। अप्रैल, 1986 में सर्वोच्च न्यायालय के न्यायाधीशों की संख्या 17 से 25 कर दी गई। जनवरी, 2009 में सर्वोच्च न्यायालय के न्यायाधीशों की संख्या 25 से बढ़ाकर 30 कर दी गई। अतः अब सर्वोच्च न्यायालय में एक मुख्य न्यायाधीश और 30 अन्य न्यायाधीश हैं। वर्तमान समय में अल्तमस कबीर सर्वोच्च न्यायालय के मुख्य न्यायाधीश हैं। ।

न्यायाधीशों की नियुक्ति (Appointment) संविधान के अन्तर्गत सर्वोच्च न्यायालय के मुख्य न्यायाधीश तथा अन्य न्यायाधीशों की नियुक्ति करने का अधिकार राष्ट्रपति को दिया गया है। सर्वोच्च न्यायालय के मुख्य न्यायाधीश की नियुक्ति करते समय राष्ट्रपति सर्वोच्च न्यायालय तथा राज्यों के उच्च न्यायालयों के ऐसे न्यायाधीशों की सलाह लेता है जिन्हें वह उचित समझता है। अन्य न्यायाधीशों की नियुक्ति करते समय राष्ट्रपति के लिए मुख्य न्यायाधीश की सलाह लेना अनिवार्य है।

न्यायाधीशों की नियुक्ति सम्बन्धी सर्वोच्च न्यायालय का फैसला (Decision of the Supreme Court with regard to the appointment of the Judges)—सर्वोच्च न्यायालय ने 6 अक्तूबर, 1993 को एक महत्त्वपूर्ण निर्णय सुनाते हुए कहा कि सर्वोच्च न्यायालय के अन्य न्यायाधीशों की नियुक्ति करते समय कार्यपालिका के मुकाबले सर्वोच्च न्यायालय के मुख्य न्यायाधीश की सलाह को महत्त्व दिया जाएगा। 28 अक्तूबर, 1998 के सर्वोच्च न्यायालय की नौ सदस्यीय संविधान पीठ ने एक महत्त्वपूर्ण स्पष्टीकरण के तहत यह निर्धारित किया कि सर्वोच्च न्यायालय के न्यायाधीश की नियुक्ति में अपनी सिफ़ारिश देने से पूर्व मुख्य न्यायाधीश को सर्वोच्च न्यायालय के चार वरिष्ठतम न्यायाधीशों से विचार-विमर्श करना चाहिए। संविधान पीठ ने स्पष्ट किया है कि सलाहकार मण्डल की राय तथा मुख्य न्यायाधीश की राय जब तक एक न हो, तब तक सिफ़ारिश नहीं की जानी चाहिए। परामर्श किए गए चार न्यायाधीशों में से यदि दो न्यायाधीश भी विपरीत राय देते हैं तो मुख्य न्यायाधीश को सरकार को सिफ़ारिश नहीं भेजनी चाहिए। विचार-विमर्श प्रक्रिया का पालन किए बिना मुख्य न्यायाधीश द्वारा दी गई सिफ़ारिशें सरकार पर बाध्यकारी नहीं है।

योग्यताएं (Qualifications)-सर्वोच्च न्यायालय के न्यायाधीशों के लिए निम्नलिखित योग्यताएं निश्चित की गई हैं-

• वह भारत का नागरिक हो।
• वह कम-से-कम 5 वर्ष तक किसी एक, दो या अधिक उच्च न्यायालयों का न्यायाधीश रह चुका हो, या
• वह किसी एक, दो या उससे अधिक उच्च न्यायालयों में कम-से-कम 10 वर्ष तक वकालत कर चुका हो, या
• वह राष्ट्रपति की दृष्टि में कुशल विधिवेत्ता (Distinguished Jurist) हो।

कार्यकाल (Term of Office)–सर्वोच्च न्यायालय के न्यायाधीश 65 वर्ष की आयु तक अपने पद पर रहते हैं। उससे पहले वे स्वयं तो त्याग-पत्र दे सकते हैं, परन्तु राष्ट्रपति जब चाहे उन्हें उनके पद से नहीं हटा सकता। परन्तु इसका अर्थ यह नहीं कि 65 वर्ष से पहले किसी न्यायाधीश को अपदस्थ किया ही नहीं जा सकता। उन्हें अयोग्यता तथा कदाचार के आधार पर पदच्युत किया जा सकता है। इसके लिए यह व्यवस्था की गई है कि संसद् के दोनों सदन अलगअलग बैठकर अपने समस्त सदस्यों के स्पष्ट बहुमत तथा उपस्थित एवं मत डालने वाले सदस्यों के 2/3 बहुमत से किसी न्यायाधीश को पद से हटाए जाने का प्रस्ताव पास कर दें तो ऐसा प्रस्ताव पास होने पर राष्ट्रपति सम्बन्धित न्यायाधीश को उसके पद से हटा देगा। 11 मई, 1993 को लोकसभा में सर्वोच्च न्यायालय के न्यायाधीश वी० रामास्वामी के विरुद्ध महाभियोग का प्रस्ताव पास न हो सका क्योंकि कांग्रेस (इ) के सदस्यों ने मतदान में भाग नहीं लिया। प्रस्ताव के पक्ष में 196 मत पड़े जबकि प्रस्ताव पास होने के लिए 273 मतों की आवश्यकता थी।

वेतन तथा भत्ते (Salary and Allowances)—सर्वोच्च न्यायालय के मुख्य न्यायाधीश का मासिक वेतन 2,80,000 रुपए से और अन्य न्यायाधीशों का वेतन 2,50,000 रुपए है। इसके अतिरिक्त उन्हें एक नि:शुल्क निवासस्थान तथा यात्रा-भत्ता (जब कोई न्यायाधीश अपने कर्त्तव्य का पालन करते हुए यात्रा करता है) मिलता है। उनके वेतन तथा भत्ते भारत की संचित निधि से दिए जाते हैं जिस पर संसद् को मतदान का अधिकार नहीं। उनके वेतन और भत्ते वैसे तो समय-समय पर संसद् द्वारा निश्चित किए जाते हैं, परन्तु उनके कार्यकाल में घटाए नहीं जा सकते। सेवानिवृत्त होने पर न्यायाधीशों को पैन्शन मिलती है।

रिटायर होने पर वकालत पर पाबन्दी (Prohibition of Practice after Retirement)-सर्वोच्च न्यायालय के न्यायाधीश रिटायर होने के पश्चात् किसी न्यायालय में वकालत नहीं कर सकते, परन्तु आवश्यकता पड़ने पर राष्ट्रीय सर्वोच्च न्यायालय के किसी रिटायर न्यायाधीश को कोई विशेष कार्य सौंप सकता है और न्यायाधीश को इस कार्य का वेतन दिया जाता है।

शपथ (Oath) सर्वोच्च न्यायालय के प्रत्येक न्यायाधीश को अपना पद सम्भालने से पहले राष्ट्रपति या उसके द्वारा नियुक्त किसी अन्य अधिकारी के सामने अपने पद की शपथ लेनी पड़ती है।

स्थान (Seat of the Supreme Court)-संविधान के अनुसार इसका स्थान दिल्ली रखा गया है, परन्तु आवश्यकता पड़ने पर मुख्य न्यायाधीश राष्ट्रपति की स्वीकृति से अन्य स्थानों पर उसकी बैठक कर सकता है।

सर्वोच्च न्यायालय के क्षेत्राधिकार तथा कार्य (Jurisdiction and Function of the Supreme Court)-

सर्वोच्च न्यायालय भारत का सबसे बड़ा और अन्तिम न्यायालय है और इसीलिए इसके अधिकार तथा शक्तियां बड़ी व्यापक हैं। इसकी शक्तियों और कार्यों को कई श्रेणियों में बांटा जा सकता है, जोकि निम्नलिखित हैं :

1. प्रारम्भिक क्षेत्राधिकार (Original Jurisdiction)-भारतीय सर्वोच्च न्यायालय को कुछ मुकद्दमों में प्रारम्भिक क्षेत्राधिकार प्राप्त हैं अर्थात् कुछ मुकद्दमे ऐसे हैं जो सर्वोच्च न्यायालय में सीधे ले जाए जा सकते हैं। उन्हें इससे पहले किसी अन्य न्यायालय में ले जाने की आवश्यकता नहीं। अग्रलिखित मुकद्दमे सीधे सर्वोच्च न्यायालय में ले जाए जा सकते हैं :-

• भारत सरकार और एक या अधिक राज्यों के बीच उत्पन्न झगड़े।
• ऐसे झगड़े जिनमें भारत सरकार और राज्य एक तरफ हों तथा एक राज्य और कुछ राज्य दूसरी ओर।
• ऐसे झगड़े जो दो या दो से अधिक राज्यों के बीच हों और जिनका सम्बन्ध संविधान या किसी कानून की व्यवस्था आदि से हो।
• मौलिक अधिकारों के बारे में कोई भी मुकद्दमा सीधा सर्वोच्च न्यायालय में ले जाया जा सकता है।
• राष्ट्रपति और उपराष्ट्रपति के चुनाव सम्बन्धी विवादों का निर्णय सर्वोच्च न्यायालय ही करता है।

2. अपीलीय क्षेत्राधिकार (Appellate Jurisdiction)—जो मुकद्दमे सर्वोच्च न्यायालय में सीधे नहीं लाये जा सकते, वे अपील के रूप में सर्वोच्च न्यायालय के सामने लाए जा सकते हैं। सर्वोच्च न्यायालय को राज्य न्यायालयों के निर्णयों के विरुद्ध अपीलें सुनने का अधिकार है। ये अपीलें संवैधानिक, दीवानी और फ़ौजदारी तीनों प्रकार के मुकद्दमे में सुनी जा सकती हैं, परन्तु उच्च न्यायालय द्वारा दिए गए सभी मामलों के निर्णय के विरुद्ध अपील नहीं की जा सकती। सर्वोच्च न्यायालय में अपील करने के लिए कुछ शर्ते निश्चित हैं, जोकि निम्नलिखित हैं

(क) संवैधानिक मामलों में अपील (Appeal in Constitutional Cases)—संविधान के अनुसार यह व्यवस्था की गई है कि यदि उच्च न्यायालय यह प्रमाणित कर दे कि मुकद्दमे में संविधान को किसी धारा की व्यवस्था या कानून का कोई महत्त्वपूर्ण प्रश्न निहित है तो किसी भी मुकद्दमे में, चाहे वह दीवानी हो या फ़ौजदारी, छोटा हो या बड़ा उच्च न्यायालय के निर्णय के विरुद्ध अपील की जा सकती है। यदि उच्च न्यायालय किसी मुकद्दमे में ऐसा प्रमाणपत्र देने से इन्कार कर दे तो सर्वोच्च न्यायालय स्वयं ही इस प्रकार की अनुमति (Certificate of Leave) देकर अपील करने की विशेष आज्ञा प्रदान कर सकता है।

(ख) दीवानी मुकद्दमे में अपील (Appeal in Civil Cases)—संविधान के द्वारा दीवानी मामलों में सर्वोच्च न्यायालयों द्वारा अपील सुने जाने की व्यवस्था है। किसी भी राशि का मुकद्दमा सर्वोच्च न्यायालय के पास आ सकता है, जब उच्च न्यायालय यह प्रमाण-पत्र दे दे कि मुकद्दमा सर्वोच्च नयायालय के सुनने के योग्य है। यह ऐसे मुकद्दमे की अपीलें सुन सकता है जबकि उच्च न्यायालय यह प्रमाण-पत्र दे कि मुकद्दमे में कोई कानूनी प्रश्न विवादग्रस्त है। यदि उच्च न्यायालय किसी दीवानी मामले में इस प्रकार का प्रमाण-पत्र न दे तो सर्वोच्च न्यायालय स्वयं भी किसी व्यक्ति को अपील करने की विशेष आज्ञा दे सकता है। किसी दीवानी मुकद्दमे में संविधान की व्याख्या किसी महत्त्वपूर्ण प्रश्न के निहित होने की दशा में भी सर्वोच्च न्यायालय में अपील की जा सकती है।

(ग) फ़ौजदारी मुकद्दमे में अपील (Appeal in Criminal Cases) निम्नलिखित कई प्रकार के फ़ौजदारी मुकद्दमों में भी उच्च न्यायालय के निर्णय के विरुद्ध सर्वोच्च न्यायालय में अपील की जा सकती है

• यदि किसी फ़ौजदारी मुकद्दमे में निचले न्यायालय ने अभियुक्त को छोड़ दिया हो, परन्तु उच्च न्यायालय ने अपील में विमुक्ति के आदेश को रद्द करके अभियुक्त को मृत्यु-दण्ड दे दिया हो।
• उच्च न्यायालय ने किसी निचले न्यायालय में चल रहे किसी मुकद्दमे को अपने पास निरीक्षण के लिए मंगवा लिया हो और अभियुक्त को दोषी ठहराकर मृत्यु-दण्ड दे दिया हो।
• जिस मुकद्दमे में उच्च न्यायालय यह प्रमाणित कर दे कि मुकद्दमा सर्वोच्च न्यायालय में अपील किए जाने के योग्य है।
• सर्वोच्च न्यायालय किसी भी फ़ौजदारी मुकद्दमे में अपील करने की विशेष आज्ञा प्रदान कर सकता है।

3. संविधान की व्याख्या तथा रक्षा (Interpretation and Protection of the Constitution)-संविधान की व्याख्या तथा रक्षा करना भी सर्वोच्च न्यायालय का कार्य है। जब कभी संविधान की व्याख्या के बारे में कोई मतभेद उत्पन्न हो, तो सर्वोच्च न्यायालय द्वारा व्याख्या की जाती है और सर्वोच्च न्यायालय की व्याख्या को अन्तिम तथा सर्वोच्च माना जाता है। केवल संविधान की व्याख्या करना ही नहीं बल्कि इसकी रक्षा करना भी सर्वोच्च न्यायालय का कार्य है। यदि सर्वोच्च न्यायालय को यह विश्वास हो जाए कि संसद् द्वारा बनाया गया कानून या कार्यपालिका का आदेश संविधान का उल्लंघन करता है तो वह उस कानून या आदेश को असंवैधानिक घोषित करके रद्द कर सकता है।

4. मौलिक अधिकारों के विषय में क्षेत्राधिकार (Jurisdiction regarding Fundamental Rights)—यह न्यायालय स्वतन्त्रताओं और मौलिक अधिकारों का रक्षक है। 32वें अनुच्छेद के अनुसार इसे यह शक्ति दी गई है कि यह आदेश या लेख जैसे बन्दी प्रत्यक्षीकरण (Habeas Corpus), परमादेश (Mandamus), प्रतिषेध (Prohibition), अधिकार-पृच्छा (Quo-warranto) और उत्प्रेषण लेख (Certiorari) जारी करके मौलिक अधिकारों को लागू करवा सकता है। परन्तु संकटकाल के समय में मौलिक अधिकारों को लागू करवाने के लिए सर्वोच्च न्यायालय की सहायता लेने के अधिकार को राष्ट्रपति स्थगित कर सकता है।

5. सलाहकारी शक्तियां (Advisory Powers)-राष्ट्रपति किसी सार्वजनिक महत्त्व के विषय पर सर्वोच्च न्यायालय से परामर्श कर सकता है, परन्तु राष्ट्रपति के लिए यह जरूरी नहीं है कि वह सर्वोच्च न्यायालय के परामर्श के अनुसार चले। यह परामर्श कोई निर्णय नहीं होता।

6. अपने निर्णयों के पुनर्निरीक्षण का अधिकार (Power to Review its own Decisions)-सर्वोच्च न्यायालय अपने निर्णयों पर पुनर्विचार कर सकता है। सज्जन सिंह बनाम राजस्थान राज्य के मुकद्दमे में सर्वोच्च न्यायालय ने यह निर्णय दिया था कि संसद् मौलिक अधिकारों में संशोधन कर सकती है। परन्तु 1967 में गोलकनाथ के मुकद्दमे में सर्वोच्च न्यायालय ने यह निर्णय दिया था कि संसद् मौलिक अधिकारों में संशोधन नहीं कर सकती। 1973 के केशवानन्द भारती के मुकद्दमे में सर्वोच्च न्यायालय ने यह निर्णय दिया कि संसद् मौलिक अधिकारों में संशोधन कर सकती है।

7. एक अभिलेख न्यायालय (Court of Record)-सुप्रीम कोर्ट को एक अभिलेख न्यायालय माना गया है। इसकी समस्त कार्यवाही तथा निर्णय सदैव के लिए यादगार तथा प्रमाण के रूप में प्रकाशित किए जाते हैं तथा देश के समस्त न्यायालयों के लिए यह निर्णय न्यायिक दृष्टान्त (Judicial Precedents) के रूप में स्वीकार किए जाते हैं।

8. मुकद्दमे को स्थानान्तरित करने की शक्ति (Power Regarding Transference of Cases)-सर्वोच्च न्यायालय शीघ्र न्याय दिलाने के उद्देश्य से भी किसी भी मुकद्दमे को एक उच्च न्यायालय से दूसरे उच्च न्यायालय में भेज सकता है।

9. विविध कार्य (Miscellaneous Functions) सर्वोच्च न्यायालय के पास कई प्रकार की विविध शक्तियां हैं-

• यह अपना कार्य चलाने के लिए अपने पदाधिकारियों की नियुक्ति करता है।
• सर्वोच्च न्यायालय यह देखता है कि प्रत्येक न्यायालय में न्याय ठीक प्रकार हो रहा है अथवा नहीं।
• संघीय लोक सेवा आयोग के सदस्यों तथा सभापति को पदच्युत करने का अधिकार तो राष्ट्रपति के पास है परन्तु राष्ट्रपति ऐसा तभी कर सकेगा जब सर्वोच्च न्यायालय उसकी जांच-पड़ताल करके उसको अपराधी घोषित कर दे।

क्षेत्राधिकार में विस्तार (Enlargement of Jurisdiction)–संसद् को अपने अधिनियम द्वारा निम्नलिखित मामलों के सम्बन्ध में सर्वोच्च न्यायालय के क्षेत्राधिकार को विस्तृत करने का अधिकार है :

• संघ सूची में दिया गया कोई भी मामला।
• उच्च न्यायालयों के फैसलों के विरुद्ध फ़ौजदारी मामलों में अपीलीय क्षेत्राधिकार।
• कोई भी मामला जो भारत सरकार और किसी भी राज्य सरकार के समझौते द्वारा सर्वोच्च न्यायालय को दिया हो।
• मूल अधिकारों को लागू करने के अतिरिक्त किसी और उद्देश्यों के लिए निर्देश, आदेश तथा लेख जारी करना।
• सर्वोच्च न्यायालय को संविधान द्वारा सौंपे गए क्षेत्राधिकार को अच्छी प्रकार से प्रयोग करने के लिए ज़रूरी शक्ति।

सर्वोच्च न्यायालय की स्थिति (Position of the Supreme Court)—इस विवेचन के आधार पर यह कहा जा सकता है कि इस न्यायालय को संसार की सभी या संघात्मक सर्वोच्च न्यायालयों से अधिक शक्तियां प्राप्त हैं। श्री अल्लादी कृष्णा स्वामी अय्यर ने कहा है, “हमारी सुप्रीम कोर्ट को जितनी शक्तियां दी गई हैं, उतनी अधिक संसार में किसी अन्य सुप्रीम कोर्ट को प्राप्त नहीं हैं।”

एम० वी० पायली (M.V. Pylee) ने सर्वोच्च न्यायालय की स्थिति के बारे में लिखा है, “अपनी विभिन्न तथा व्यापक शक्तियों के कारण सर्वोच्च न्यायालय न्यायिक क्षेत्र में एक सर्वश्रेष्ठ संस्था ही नहीं, बल्कि वह देश के संविधान तथा कानून का भी रक्षक है।” (“The combination of such wide and varied powers in the Supreme Court of India makes it not only the supreme authority in the judicial field but also the guardian of constitution and law of the land.”)

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
भारत में न्यायपालिका की स्वतन्त्रता की व्यवस्था के लिए किए गए तीन कार्यों का वर्णन करो।
उत्तर-
लोकतन्त्रात्मक तथा संघीय शासन प्रणाली की सफलता के लिए एक स्वतन्त्र तथा निष्पक्ष न्यायपालिका का होना अनिवार्य है। अतः संविधान निर्माताओं ने स्वतन्त्र न्यायपालिका की व्यवस्था के लिए संविधान में निम्नलिखित बातों का प्रबन्ध किया-

1. न्यायाधीशों की नियुक्ति-सर्वोच्च न्यायालय तथा राज्यों के उच्च न्यायालयों के न्यायाधीशों की नियुक्ति राष्ट्रपति करता है। परन्तु राष्ट्रपति न्यायाधीशों की नियुक्ति करने में स्वतन्त्र नहीं है। सर्वोच्च न्यायालय के मुख्य न्यायाधीश की नियुक्ति करते समय राष्ट्रपति सर्वोच्च न्यायालय तथा उच्च न्यायालयों के जिन न्यायाधीशों की सलाह ठीक समझे, परामर्श ले सकता है। सर्वोच्च न्यायालय के अन्य न्यायाधीशों की नियुक्ति करते समय राष्ट्रपति के लिए मुख्य न्यायाधीश की सलाह लेना अनिवार्य है। अक्तूबर, 1993 को सर्वोच्च न्यायालय ने एक निर्णय दिया कि सर्वोच्च न्यायालय के न्यायाधीशों की नियुक्ति करते समय कार्यपालिका सर्वोच्च न्यायालय के मुख्य न्यायाधीश की सलाह को महत्त्व देगी। 28 अक्तूबर, 1998 को सर्वोच्च न्यायालय की नौ सदस्यीय संविधान पीठ ने यह निर्णय दिया कि मुख्य न्यायाधीश को सलाह देने से पूर्व सर्वोच्च न्यायालय के चार वरिष्ठतम न्यायाधीशों से अवश्य विचार-विमर्श करना चाहिए। सलाहकार मण्डल की राय तथा मुख्य न्यायाधीश की राय जब तक एक न हो, तब तक सिफ़ारिश नहीं की जानी चाहिए।

2. न्यायाधीशों की योग्यताएं-संविधान में सर्वोच्च न्यायालय तथा अन्य न्यायालयों के न्यायाधीशों की योग्यताओं का वर्णन किया गया है। राष्ट्रपति उन्हीं व्यक्तियों को न्यायाधीश नियुक्त कर सकता है जिनके पास निश्चित योग्यताएं हों।

3. लम्बी अवधि-न्यायाधीशों को स्वतन्त्रता एवं निष्पक्षता के लिए लम्बी सेवा अवधि का होना अनिवार्य है। सर्वोच्च न्यायालय के न्यायाधीश 65 वर्ष की आयु तक अपने पद पर रह सकते हैं।

प्रश्न 2.
भारतीय सर्वोच्च न्यायालय का न्यायाधीश बनने के लिए आवश्यक योग्यताएं लिखें।
उत्तर-
राष्ट्रपति उसी व्यक्ति को सर्वोच्च न्यायालय का न्यायाधीश नियुक्त कर सकता है जिसमें निम्नलिखित योग्यताएं हों

• वह भारत का नागरिक हो।
• वह कम-से-कम पांच वर्ष तक एक या एक से अधिक उच्च न्यायालयों में न्यायाधीश के पद पर रह चुका हो।

अथवा

वह कम-से-कम 10 वर्ष तक उच्च न्यायालय का एडवोकेट रह चुका हो।

अथवा

वह राष्ट्रपति की दृष्टि में प्रसिद्ध कानून-विशेषज्ञ हो।

प्रश्न 3.
सर्वोच्च न्यायालय का प्रारम्भिक क्षेत्राधिकार बताएं।
उत्तर-
सर्वोच्च न्यायालय में कुछ मुकद्दमे सीधे ले जाए जा सकते हैं-

• यदि केन्द्र या किसी एक राज्य या कई राज्यों के बीच कोई झगड़ा उत्पन्न हो जाए तो उसका निर्णय सर्वोच्च न्यायालय करता है।
• यदि कुछ राज्यों के बीच किसी संवैधानिक विषय पर कोई झगड़ा उत्पन्न हो जाए तो वह झगड़ा भी सर्वोच्च न्यायालय द्वारा ही निपटाया जाता है।
• मौलिक अधिकारों के बारे में कोई भी मुकद्दमा सीधा सर्वोच्च न्यायालय के सामने ले जाया जा सकता है।
• यदि राष्ट्रपति या उप-राष्ट्रपति के चुनाव के बारे में कोई शंका या झगड़ा उत्पन्न हो जाए तो उसका निर्णय सर्वोच्च न्यायालय ही करता है।

प्रश्न 4.
सर्वोच्च न्यायालय के न्यायाधीशों का वेतन तथा अन्य सुविधाएं बताएं।
उत्तर-
सर्वोच्च न्यायालय के मुख्य न्यायाधीश को 2,80,000 रुपये मासिक तथा अन्य न्यायाधीशों को 2,50,000 रुपये मासिक वेतन मिलता है। वेतन के अतिरिक्त उन्हें कुछ भत्ते भी मिलते हैं। उन्हें रहने के लिए बिना किराये का निवास-स्थान भी मिलता है। उनके वेतन-भत्ते तथा दूसरी सुविधाओं में उनके कार्यकाल में किसी प्रकार की कटौती नहीं की जा सकती तथापि आर्थिक संकटकाल की उद्घोषणा के दौरान न्यायाधीशों के वेतन आदि घटाए जा सकते हैं। सेवा निवृत्त (Retire) होने पर उन्हें पेंशन भी मिलती है।

प्रश्न 5.
भारत में सर्वोच्च न्यायालय कैसे नागरिकों के मौलिक अधिकारों की रक्षा करता है ?
उत्तर-
यदि कोई व्यक्ति यह समझे कि सरकार ने उसके मौलिक अधिकारों में हस्तक्षेप किया है या कोई कानून मौलिक अधिकार के विरुद्ध बनाया गया है तो वह सर्वोच्च न्यायालय के पास जा सकता है और सर्वोच्च न्यायालय कई प्रकार के अभिलेख जारी कर सकता है और किसी कानून को अवैध भी घोषित कर सकता है।

प्रश्न 6.
सर्वोच्च न्यायालय भारतीय संविधान का संरक्षक है। टिप्पणी लिखिए।
उत्तर-
संविधान भारत की सर्वोच्च विधि है और किसी भी व्यक्ति, सरकारी कर्मचारी अधिकारी अथवा सरकार का कोई अंग इसके विरुद्ध आचरण नहीं कर सकता। इसकी रक्षा करना सर्वोच्च न्यायालय का कर्त्तव्य है। इसलिए सर्वोच्च न्यायालय को विधानमण्डलों द्वारा बनाए गए कानूनों तथा कार्यपालिका द्वारा जारी किए गए आदेशों पर न्यायिक निरीक्षण (Judicial Review) का अधिकार प्राप्त है। सर्वोच्च न्यायालय इस बात की जांच-पड़ताल तथा निर्णय कर सकता है कि कोई कानून या आदेश संविधान की धाराओं के अनुसार है या कि नहीं। यदि सर्वोच्च न्यायालय को यह विश्वास हो जाए कि किसी भी कानून से संविधान का उल्लंघन हुआ है तो वह उसे असंवैधानिक घोषित करके रद्द रक सकता है।

प्रश्न 7.
स्वतन्त्र न्यायपालिका क्या होती है ?
उत्तर-
न्यायपालिका की स्वतन्त्रता का अर्थ है कि न्यायपालिका, कार्यपालिका तथा विधानपालिका के अधीन अपना कार्य न करे। विधानपालिका तथा कार्यपालिका को न्यायपालिका के कार्यों में हस्तक्षेप करने का अधिकार नहीं होना चाहिए। न्यायाधीश तभी निष्पक्ष होकर न्याय कर सकते हैं जब उन पर किसी प्रकार का दबाव न हो। भारत में स्वतन्त्र न्यायपालिका की स्थापना की गई है।

प्रश्न 8.
सर्वोच्च न्यायालय के तीन प्रकार के क्षेत्राधिकारों के नाम लिखें। इसके सलाहकारी क्षेत्राधिकार का वर्णन करें।
उत्तर-
सर्वोच्च न्यायालय के मुख्य तीन क्षेत्राधिकार निम्नलिखित हैं-

1. प्रारम्भिक क्षेत्राधिकार।
2. अपीलीय क्षेत्राधिकार।
3. सलाहकारी क्षेत्राधिकार।

सलाहकारी क्षेत्राधिकार-राष्ट्रपति किसी सार्वजनिक महत्त्व के विषय पर सर्वोच्च न्यायालय से कानूनी सलाह ले सकता है। परन्तु राष्ट्रपति के लिए अनिवार्य नहीं है कि वह सर्वोच्च न्यायालय के परामर्श के अनुसार कार्य करे।

प्रश्न 9.
सर्वोच्च न्यायालय का संगठन क्या है ? न्यायाधीशों की नियुक्ति कौन करता है ?
उत्तर-
सर्वोच्च न्यायालय में एक मुख्य न्यायाधीश तथा कुछ अन्य न्यायाधीश होते हैं। आजकल सर्वोच्च न्यायालय में मुख्य न्यायाधीश के अतिरिक्त 30 अन्य न्यायाधीश हैं। सर्वोच्च न्यायालय के मुख्य न्यायाधीश तथा अन्य न्यायाधीशों की नियुक्ति राष्ट्रपति करता है। मुख्य न्यायाधीश की नियुक्ति करते समय राष्ट्रपति सर्वोच्च न्यायालय तथा राज्यों के उच्च न्यायालयों के ऐसे न्यायाधीशों की सलाह लेता है जिन्हें वह उचित समझता है। अन्य न्यायाधीशों की नियुक्ति करते समय राष्ट्रपति मुख्य न्यायाधीश की सलाह अवश्य लेता है। 28 अक्तूबर, 1998 को सर्वोच्च न्यायालय की नौ सदस्यीय संविधान पीठ ने यह निर्णय दिया कि मुख्य न्यायाधीश को सलाह देने से पूर्व सर्वोच्च न्यायालय के चार वरिष्ठतम न्यायाधीशों से विचार-विमर्श करना चाहिए। सलाहकार मण्डल की राय तथा मुख्य न्यायाधीश की राय जब तक एक न हो, तब तक सिफ़ारिश नहीं की जानी चाहिए।

प्रश्न 10.
सर्वोच्च न्यायालय के पांच अधिकारों के नाम लिखो।
उत्तर-

1. प्रारम्भिक क्षेत्राधिकार
2. अपीलीय क्षेत्राधिकार
3. सलाहकारी क्षेत्राधिकार
4. मौलिक अधिकारों का रक्षक
5. न्यायिक पुनर्निरीक्षण की शक्ति।

प्रश्न 11.
सर्वोच्च न्यायालय के न्यायाधीश को उसके पद से कैसे हटाया जा सकता है ?
उत्तर-
सर्वोच्च न्यायालय के न्यायाधीश को संसद् महाभियोग द्वारा हटा सकती है। न्यायाधीश को अयोग्यता तथा कदाचार आधार पर पदच्युत किया जा सकता है। यदि संसद् के दोनों सदन अलग-अलग बैठ कर अपने समस्त सदस्यों के स्पष्ट बहुमत तथा उपस्थित एवं मत डालने वाले सदस्यों के 2/3 बहुमत से किसी भी न्यायाधीश को पद से हटाए जाने का प्रस्ताव पास कर दे तो ऐसा प्रस्ताव पास होने पर राष्ट्रपति सम्बन्धित न्यायाधीश को उसके पद से हटा देगा।

प्रश्न 12.
न्यायिक पुनर्निरीक्षण का क्या अर्थ है ?
उत्तर-
न्यायिक पुनर्निरीक्षण न्यायालयों की वह शक्ति है जिसके द्वारा वह विधानमण्डल के कानूनों तथा कार्यपालिका के आदेशों की जांच कर सकता है और यदि वे कानून अथवा आदेश संविधान के विरुद्ध हों तो उनको असंवैधानिक एवं अवैध घोषित कर सकते हैं। न्यायालय कानून की उन्हीं धाराओं को अवैध घोषित करते हैं जो संविधान के विरुद्ध होती हैं न कि समस्त कानून को। न्यायालय उन्हीं कानूनों को अवैध घोषित कर सकता है जो उनके सामने मुकद्दमे के रूप में आते हैं।

प्रश्न 13.
सर्वोच्च न्यायालय की न्यायिक पुनर्निरीक्षण की शक्ति के बारे में आप क्या जानते हैं ?
उत्तर-
संविधान का संरक्षक तथा संविधान की अन्तिम व्याख्या करने वाली संस्था होने के कारण सर्वोच्च न्यायालय को न्यायिक पुनर्निरीक्षण की शक्ति प्राप्त है। यदि कोई नागरिक समझता है कि केन्द्र सरकार या राज्य विधानमण्डल द्वारा बनाया गया कोई कानून संविधान के विरुद्ध है तो वह नागरिक इस सम्बन्ध में सर्वोच्च न्यायालय को याचना कर सकता है। सर्वोच्च न्यायालय संसद् तथा राज्य विधानमण्डल द्वारा बनाए गए कानूनों की छानबीन करता है और यदि कोई कानून संविधान के विरुद्ध हो तो वह उसको असंवैधानिक घोषित कर सकता है। 9 मई, 1980 को सर्वोच्च न्यायालय ने 42वें संशोधन एक्ट के उस खण्ड 55 को रद्द किया, जिसमें संसद् को संविधान में संशोधन करने के असीमित अधिकार दिए गए थे। सर्वोच्च न्यायालय ने अधिकतर उन्हीं कानूनों को रद्द किया है जो अनुच्छेद 14, 19 तथा 31 (अनुच्छेद 31 को 44वें संशोधन द्वारा संविधान से निकाल दिया गया है) का उल्लंघन करते हैं।

अति लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
भारतीय सर्वोच्च न्यायालय का न्यायाधीश बनने के लिए आवश्यक योग्यताएं लिखें।
उत्तर-

• वह भारत का नागरिक हो।
• वह कम-से-कम पांच वर्ष तक एक या एक से अधिक उच्च न्यायालयों में न्यायाधीश के पद पर रह चुका हो।

अथवा
वह कम-से-कम 10 वर्ष तक उच्च न्यायालय का एडवोकेट रह चुका हो।

अथवा
वह राष्ट्रपति की दृष्टि में प्रसिद्ध कानून-विशेषज्ञ हो।

प्रश्न 3.
सर्वोच्च न्यायालय के किन्हीं दो प्रारम्भिक क्षेत्राधिकारों को बताएं।
उत्तर-
सर्वोच्च न्यायालय में कुछ मुकद्दमे सीधे ले जाए जा सकते हैं

• यदि केन्द्र या किसी एक राज्य या कई राज्यों के बीच कोई झगड़ा उत्पन्न हो जाए तो उसका निर्णय सर्वोच्च न्यायालय करता है।
• यदि कुछ राज्यों के बीच किसी संवैधानिक विषय पर कोई झगड़ा उत्पन्न हो जाए तो वह झगड़ा भी सर्वोच्च न्यायालय द्वारा ही निपटाया जाता है।

प्रश्न 4.
सर्वोच्च न्यायालय के न्यायाधीशों का वेतन तथा अन्य सुविधाएं बताएं।
उत्तर-
सर्वोच्च न्यायालय के मुख्य न्यायाधीश को 2,80,000 रुपये मासिक तथा अन्य न्यायाधीशों को 2,50,000 रुपये मासिक वेतन मिलता है। वेतन के अतिरिक्त उन्हें कुछ भत्ते भी मिलते हैं। उन्हें रहने के लिए बिना किराये का निवास-स्थान भी मिलता है।

प्रश्न 5.
सर्वोच्च न्यायालय के तीन प्रकार के क्षेत्राधिकारों के नाम लिखें।
उत्तर-

1. प्रारम्भिक क्षेत्राधिकार ।
2. अपीलीय क्षेत्राधिकार।
3. सलाहकारी क्षेत्राधिकार।

प्रश्न 6.
सर्वोच्च न्यायालय का संगठन क्या है ?
उत्तर-
सर्वोच्च न्यायालय में एक मुख्य न्यायाधीश तथा कुछ अन्य न्यायाधीश होते हैं। आजकल सर्वोच्च न्यायालय में मुख्य न्यायाधीश के अतिरिक्त 30 अन्य न्यायाधीश हैं। सर्वोच्च न्यायालय के मुख्य न्यायाधीश तथा अन्य न्यायाधीशों की नियुक्ति राष्ट्रपति करता है।

प्रश्न 7.
सर्वोच्च न्यायालय की न्यायिक पुनर्निरीक्षण की शक्ति के बारे में आप क्या जानते हैं ?
उत्तर-
संविधान का संरक्षक तथा संविधान की अन्तिम व्याख्या करने वाली संस्था होने के कारण सर्वोच्च न्यायालय को न्यायिक पुनर्निरीक्षण की शक्ति प्राप्त है। यदि कोई नागरिक समझता है कि केन्द्र सरकार या राज्य विधानमण्डल द्वारा बनाया गया कोई कानून संविधान के विरुद्ध है तो वह नागरिक इस सम्बन्ध में सर्वोच्च न्यायालय को याचना कर सकता है। सर्वोच्च न्यायालय संसद् तथा राज्य विधानमण्डल द्वारा बनाए गए कानूनों की छानबीन करता है और यदि कोई कानून संविधान के विरुद्ध हो तो वह उसको असंवैधानिक घोषित कर सकता है।

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

प्रश्न I. एक शब्द/वाक्य वाले प्रश्न-उत्तर-

प्रश्न 1. सर्वोच्च न्यायालय का संगठन क्या है ?
उत्तर-सर्वोच्च न्यायालय का एक मुख्य न्यायाधीश तथा अन्य न्यायाधीश होते हैं। आजकल सर्वोच्च न्यायालय में मुख्य न्यायाधीश के अतिरिक्त 30 अन्य न्यायाधीश हैं।

प्रश्न 2. सर्वोच्च न्यायालय के न्यायाधीश और उच्च न्यायालय के न्यायाधीश कितनी आयु में सेवानिवृत्त होते हैं ?
उत्तर-सर्वोच्च न्यायालय के न्यायाधीश 65 वर्ष और उच्च न्यायालय के न्यायाधीश 62 वर्ष की आयु में सेवानिवृत्त होते हैं।

प्रश्न 3. सर्वोच्च न्यायालय का अध्यक्ष कौन होता है ?
उत्तर-सर्वोच्च न्यायालय का अध्यक्ष मुख्य न्यायाधीश होता है।

प्रश्न 4. सर्वोच्च न्यायालय की व्यवस्था किस अनुच्छेद के अधीन की गई है ?
उत्तर-सर्वोच्च न्यायालय की व्यवस्था संविधान के अनुच्छेद 124 में की गई है।

प्रश्न 5. सर्वोच्च न्यायालय की स्थापना कहां की गई है ?
उत्तर-सर्वोच्च न्यायालय की स्थापना नई दिल्ली में की गई है।

प्रश्न 6. सर्वोच्च न्यायालय के न्यायाधीशों की संख्या कौन निश्चित करती है ?
उत्तर-सर्वोच्च न्यायालय के न्यायाधीशों की संख्या संसद् निश्चित करती है।

प्रश्न 7. संविधान एवं मौलिक अधिकारों का संरक्षक किसे माना जाता है ?
उत्तर-संविधान एवं मौलिक अधिकारों का संरक्षक सर्वोच्च न्यायालय को माना जाता है।

प्रश्न 8. सर्वोच्च न्यायालय के अन्य न्यायाधीशों की नियुक्ति किसके परामर्श से की जाती है ?
उत्तर-मुख्य न्यायाधीश के।

प्रश्न 9. सर्वोच्च न्यायालय के मुख्य न्यायाधीश तथा अन्य न्यायाधीशों के वेतन बताओ।
उत्तर-सर्वोच्च न्यायालय के मुख्य न्यायाधीश को 2,80,000 रु० मासिक तथा अन्य न्यायाधीशों को 2,50,000 रु० मासिक वेतन मिलता है।

प्रश्न 10. सर्वोच्च न्यायालय का न्यायाधीश बनने के लिए कोई एक योग्यता लिखें।
उत्तर-सर्वोच्च न्यायालय का न्यायाधीश बनने के लिए आवश्यक है कि वह भारत का नागरिक हो।

प्रश्न 11. क्या सर्वोच्च न्यायालय के न्यायाधीश सेवानिवृत्त होने के पश्चात् वकालत कर सकते हैं ?
उत्तर-सर्वोच्च न्यायालय के न्यायाधीश सेवानिवृत्त होने के पश्चात् वकालत नहीं कर सकते हैं।

प्रश्न 12. उच्च न्यायालय के क्षेत्राधिकार में कौन वृद्धि कर सकता है ?
उत्तर-उच्च न्यायालय के क्षेत्राधिकार में संसद् वृद्धि कर सकती है।

प्रश्न 13. उच्च न्यायालयों के जजों के रिटायर होने की आयु कितनी है ?
उत्तर-62 वर्ष।

प्रश्न 14. उच्च न्यायालय का न्यायाधीश बनने के लिए कोई एक योग्यता लिखें।
उत्तर-उच्च न्यायालय का न्यायाधीश बनने के लिए आवश्यक है कि वह व्यक्ति भारत का नागरिक हो।

प्रश्न 15. उच्च न्यायालयों के न्यायाधीशों को कौन हटा सकता है ?
उत्तर-उच्च न्यायालयों के न्यायाधीशों को संसद् की सिफ़ारिश पर राष्ट्रपति हटा सकता है।

प्रश्न 16. उच्च न्यायालयों के न्यायाधीश की नियुक्ति कौन करता है ?
उत्तर-राष्ट्रपति।

प्रश्न 17. उच्च न्यायालयों के न्यायाधीशों को प्रति मास कितना वेतन मिलता है ?
उत्तर-2,25,000 रु०।।

प्रश्न 18. उच्च न्यायालयों के मुख्य न्यायाधीशों को प्रति मास कितना वेतन मिलता है ?
उत्तर-2,50,000 रु०।

प्रश्न II. खाली स्थान भरें-

1. सर्वोच्च न्यायालय के क्षेत्राधिकार में आरंभिक क्षेत्राधिकार,अपीलीय क्षेत्राधिकार तथा …………..
2. संविधान की व्याख्या तथा रक्षा करना ………….. का कार्य है।
3. सर्वोच्च न्यायालय संविधान के ……………… के अनुसार पांच प्रकार के लेख जारी कर सकता है।
4. सर्वोच्च न्यायालय की स्थापना …………… में की गई है।
उत्तर-

1. सलाहकारी क्षेत्राधिकार
2. सर्वोच्च न्यायालय
3. अनुच्छेद 32
4. नई दिल्ली।

प्रश्न III. निम्नलिखित में से सही एवं ग़लत का चुनाव करें-

1. सर्वोच्च न्यायालय की व्याख्या संविधान के अनुच्छेद 51 में की गई है।
2. वर्तमान समय में सर्वोच्च न्यायालय में मुख्य न्यायाधीश के अतिरिक्त 30 न्यायाधीश हैं।
3. सर्वोच्च न्यायालय के न्यायाधीशों की नियुक्ति राज्यपाल करता है।
4. सर्वोच्च न्यायालय के न्यायाधीश 65 वर्ष की आयु तक अपने पद पर रहते हैं।
5. संसद् सर्वोच्च न्यायालय के न्यायाधीशों को साधारण बहुमत से हटा सकती है।
उत्तर-

1. ग़लत
2. सही
3. ग़लत
4. सही
5. ग़लत ।

प्रश्न IV. बहुविकल्पीय प्रश्न-

प्रश्न 1.
निम्नलिखित में से किसको संविधान का संरक्षक माना जाता है ?
(क) राष्ट्रपति
(ख) सर्वोच्च न्यायालय
(ग) उच्च न्यायालय
(घ) संसद् ।
उत्तर-
(ख) सर्वोच्च न्यायालय ।

प्रश्न 2.
सर्वोच्च न्यायालय को कौन-सा अधिकार क्षेत्र प्राप्त नहीं है-
(क) प्रारम्भिक अधिकार क्षेत्र
(ख) अपीलीय
(ग) सलाहकारी
(घ) राजनीतिक।
उत्तर-
(घ) राजनीतिक।।

प्रश्न 3.
उच्च न्यायालय के न्यायाधीशों को कौन हटा सकता है-
(क) राष्ट्रपति
(ख) राज्यपाल
(ग) संसद्
(घ) प्रधानमन्त्री।
उत्तर-
(ग) संसद्।

प्रश्न 4.
न्यायिक पुनर्निरीक्षण की शक्ति है-
(क) जिला न्यायालयों के पास
(ख) केवल उच्च न्यायालयों के पास
(ग) केवल सर्वोच्च न्यायालय के पास
(घ) सर्वोच्च व उच्च न्यायालय दोनों के पास।
उत्तर-
(घ) सर्वोच्च व उच्च न्यायालय दोनों के पास।

Punjab State Board PSEB 12th Class Maths Book Solutions Chapter 1 Relations and Functions Miscellaneous Exercise Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 12 Maths Chapter 1 Relations and Functions Miscellaneous Exercise

Question 1.
Let f: R → R be defined as f(x) = 10x + 7. Find the function g: R → R such that gof = fog = I_R.
Solution.
It is given that f: R → R is defined as f(x) = 10x + 7.
One – one :
Let f(x) = f(y), where x, y ∈ R.
⇒ 10x + 7 = 10y + 7
⇒ x = y
∴ f is a one-one function.

Onto :
For y ∈ R, let y = 10x + 7.
⇒ x = \(\frac{y-7}{10}\) ∈ R
Therefore, for any y ∈ R, there exists x = \(\frac{y-7}{10}\) ∈ R such that
f(x) = f(\(\frac{y-7}{10}\))
= 10(\(\frac{y-7}{10}\)) + 7
= y – 7 + 7 = y
∴ f is onto.
Therefore f is one-one and onto.
Thus f is an invertible function.
Let us define g : R → R as g(y) = \(\frac{y-7}{10}\)
Now, we have
gof(x) = g(f(x)) = g(10x + 7)
= \(\frac{(10 x+7)-7}{10}=\frac{10 x}{10}\) = x
And, fog(y) = f(g(y))
= f(\(\frac{y-7}{10}\))
= 10(\(\frac{y-7}{10}\)) + 7
= y – 7 + 7 = y
∴ gof = I_R and fog = I_R
Hence, the required functiong:R → R is defined as g(y) = \(\frac{y-7}{10}\)

Question 2.
Let f: W → W be defined as f(n) = n – 1, if n is odd and f(n) = n + 1, if n is even. Show that f is invertible. Find the inverse of f. Here, W is the set of all whole numbers.
Solution.
It is given that
f: W → W is defined as f(n) =

One-one :
Let f(n) = f(m)
It can be observed that if n is odd and m is even, then we will have
n – 1 = m + 1
⇒ n – m = 2
However, this is impossible.
Similarly, the possibility of n being even and m being odd can also ignored under a similar argument.
∴ Both n and m must be either odd or even.
Now, if both n and m are odd, then we have
f(n) = f(m) ⇒ n – 1 = m – 1 ⇒ n = m
Again, if both n and m are even , then we have
f(n) = f(m) ⇒ n + 1 = m+1 ⇒ n = m
∴ f is one – one.

Onto :
It is clear that any odd number 2r + 1 in co-domain W is the image of 2r in domain W and any even number 2r in co-domain W is the image of 2r + 1 in domain W.
∴ f is onto.
Hence, f is an invertible function.
Let us define g : W → W as

g(m) =

Now, when n is odd
gof(n) = g(f(n)) = g(n – 1) = n – 1 + 1 = n
and, when n is even
gof(n) = g(f(n)) = g(n + 1) = n + 1 – 1 = n
Similarly, when m is odd
fog(m) = f(g(m)) = f(m – 1) = m – 1 + 1 = m
and when m is even
fog(m) = f(g(m)) = f(m + 1) = m + 1 – 1 = m
∴ gof = I_W and fog = I_W
Thus, f is invertible and the inverse of f is given by f^-1 = g, which is the same as f.
Hence, the inverse of f is itself.

Question 3.
If f: R → R is defined by f(x) = x² – 3x + 2, find f(f(x)).
Solution.
It is given that f: R → R is defined as f(x) = x² – 3x + 2.
f(f(x)) = f(x² – 3x + 2)
= (x² – 3x + 2)² – 3(x² -3x + 2) + 2
= x⁴ + 9x² + 4 – 6x³ – 12x + 4x² – 3x² + 9x – 6 + 2
= x⁴ – 6x³ + 10x² – 3x.

Question 4.
Show that the function f: R → {x ∈ R: – 1 < x < 1} defined by f(x) = \(\frac{x}{1+|x|}\) ∈ R is one-one and onto function.
Solution.
It is given that f: R → {x ∈ R: – 1 < x < 1} is defined as f(x) = \(\frac{x}{1+|x|}\), x ∈ R.
Suppose f(x) = f(y), where x,y ∈ R ⇒ \(\frac{x}{1+|x|}=\frac{y}{1+|y|}\)
It can be observed that if x is positive and y is negative, then we have \(\frac{x}{1+x}=\frac{y}{1-y}\)
⇒ 2xy = x – y
Since x is positive and y is negative, then x > y ⇒ x – y > 0
But, 2xy is negative.
Then, 2xy ≠ x – y.
Thus, the case of x being positive and y being negative can be ruled out.
Under a similar argument, x being negative and y being positive can also be ruled out.
∴ x and y have to be either positive or negative.
When x and y are both positive, we have x y
f(x) = f(y)
⇒ \(\frac{x}{1+x}=\frac{y}{1+y}\)
⇒ x + xy = y + xy
⇒ x = y
When x and y are both negative, we have
f(x) = f(y)
⇒ \(\frac{x}{1-x}=\frac{y}{1-y}\)
⇒ x – xy = y – yx
⇒ x = y
∴ f is one-one.
Now, let y ∈ R such that – 1 < y < 1.
If y is negative, then there exists x = \(\frac{y}{1+y}\) ∈ R such that
f(x) = f(\(\frac{y}{1+y}\))
= \(\frac{\left(\frac{y}{1+y}\right)}{1+\left|\frac{y}{1+y}\right|}=\frac{\frac{y}{1+y}}{1+\left(\frac{-y}{1+y}\right)}=\frac{y}{1+y-y}\) = y
If y is positive, then there exists x = \(\frac{y}{1-y}\) ∈ R such that
f(x) = \(f\left(\frac{y}{1-y}\right)=\frac{\left(\frac{y}{1-y}\right)}{1+\left(\frac{y}{1-y}\right)}\)

= \(\frac{\frac{y}{1-y}}{1+\left(\frac{y}{1-y}\right)}=\frac{y}{1-y+y}\) = y
∴ f is onto.
Hence, f is one-one and onto.

Question 5.
Show that the function f: R → R given by f(x) = x³ in injective.
Solution.
f: R → R is given as f(x) = x³.
Suppose f(x) = f(y), where x, y ∈ R.
⇒ x³ = y³ …………(i)
Now, we need to show that x = y
Suppose x * y, their cubes will also not be equal.
⇒ x³ ≠ y³
However, this will be a contradiction to Eq. (i).
∴ x = y
Hence, f is injective.

c

Question 6.
Give examples of two functions f: N → Z and g: Z → Z such that gof is injective but g is not injective.
[Hint: consider f(x) x and g(x) = |x|].
Solution.
Define f: N → Z as f(x) – x and g: Z → Z as g(x) =|x|
We first show that g is not injective.
It can be observed that
g(- 1) = |- 1|= 1; g(1) = |1|= 1
∴ g(- 1) = g(1), but – 1 ≠ 1.
∴ g is not injective.
Now, gof: N → Z is defined as gof(x) = g(f(x)) = g(x) =|x|.
Let x, y ∈ N such that gof(x) – gof(y).
⇒ |x| = |y|
Since x and y ∈ N, both are positive.
∴ |x |= |y |=> x = y
Hence, gof is injective.

Question 7.
Give examples of two functions f: N → N and g: N → N such that gof is onto but f is not onto.
[Hint: consider f(x) = x + 1 and g(x) = i]
Solution.
Define f: N → N by f(x) = x +1
and, g: N → N by g(x) =
We first show that f is not onto.
For this, consider element 1 in co-domain N. It is clear that this element is not an image of any of the elements in domain N.
∴ f is not onto.
Now, gof: N → N is defined by,
gof(x) = g(f(x)) = g(x + 1) = (x + 1) – 1 = x [∵ x ∈ N ⇒ (x + 1) > 1]
Then, it is clear that for y ∈ N, there exists x = y ∈ N such that gof(x) = y.
Hence, gof is onto.

Question 8.
Given a non-empty set X, consider P(X) which is the set of all subsets of X.
Define the relation R in P(X) as follows:
For subsets A, B in P(X), ARB if and only if A c B. Is R an equivalence relation on P(X)? Justify your answer.
Solution.
Since every set is a subset of itself, ARA for all A ∈ P(X).
∴ R is reflexive.
Let ARB ⇒ A ⊂ B.
This cannot be implied to B ⊂ A.
For instance, if A = {1, 2} and B = {1, 2,3}, then it cannot be implied that B is related to A.
∴ R is not symmetric.
Further, if ARB and BRC, then A c B and B c C.
⇒ A ⊂ C
⇒ ARC
R is transitive.
Hence, R is not an equivalence relation since it is not symmetric.

Question 9.
Given a non-empty set X, consider the binary operation *: P(X) × P(X) P(X) given by A * B = A ∩ B ∀ A, B in P(X) where P(X) is the power set of X. Show that X is the identity element for this operation and X is the only invertible element in P(X) with respect to the operation*.
Solution.
It is given that * : P(X) × P(X) → P(X) is defined as A * B = A ∩ B ∀ A, B ∈ P(X).
We know that A * X = A ∩ X = A = X ∩ A ∀ A ∈ P(X).
⇒ A * X = A = X * A ∀ A ∈ P (X)
Thus, X is the identity element for the given binary operation*.
Now, an element A ∈ P(X) is invertible if there exists B ∈ P(x) such that
A * B = X = B * A. (As X is the identity element)
i.e., A ∩ B = X = B ∩ A
This case in possible only when A = X = B.
Thus, X is the only invertible element in P(X) with respect to the given operation*.
Hence, the given result is proved.

Question 10.
Find the number of all onto functions from the set {1, 2, 3, n} to itself.
Solution.
Onto functions from the set {1, 2, 3, …, n} to itself is simply a permutation on n symbols 1, 2, …, n.
Thus, the total number of onto maps from {1, 2, 3,…, n} to itself is the same as the total number of permutations on symbols 1, 2,…, n, which is n!.

Question 11.
Let S = {a, b, c} and T = {1,2, 3}. Find F^-1 of the following functions F from S to T, if it exists.
(i) F = {(o, 3), (6, 2), (c, 1)}
(ii) F = {(a, 2), (6, 1), (c, 1)}
Solution.
Given, S = {a, b, c}, and T = {1, 2, 3}
F: S → T is defined as :
F = {(a, 3), (b, 2), (c, 1)}
⇒ f(a) = 3, F(b) = 2, F(c) = 1
Therefore, F^-1 : T → S is given by
F^-1 = {(3, a), (2, b), (1, c)}

(ii) F: S → T is defined as
F = {(a, 2), (b, 1), (c, 1)}
Since F (b) = F (c) = 1, F is not one-one.
Hence, F is not invertible i. e., F^-1 does not exist.

Question 12.
Consider the binary operations * : R × R → R and o: R × R → R defined as a * b = | a – b| and a o b = a, ∀ a, b ∈ R. Show that * is commutative hut not associative, o is associative but not commutative. Further, show that ∀ a, b, c ∈ R, a* (b o c) = (a * b) o (a * c). [If it is so, we say that the operation * distributes over the operation o]. Does o distribute over *? Justify your answer.
Solution.
It is given that *: R × R R and o: R × R → R is defined as a * b = |a – b| and a o b = a ∀ a, b ∈ R.
For a, b ∈ R, we have
a * b = |a – b|
b * a = |b – a| = |- (a – b)|= |a – b|
∴ a * b = b * a
Therefore, the operation * is commutative..
It can be observed that
(1 * 2) * 3 = (|1 – 2|) * 3 = 1 * 3 = |1 – 3|= 2
1 * (2 * 3) = 1 * (|2 – 3|) = 1 * 1 =|1 – 1 |= 0
∴ (1 * 2) * 3 ≠ 1 * (2 * 3) (where 1, 2, 3 ∈ R)
Therefore, the operation * is not associative.
Now, consider the operation o
It can be observed that 1 o 2 = 1 and 2 o 1 = 2.
∴ 1 o 2 ≠ 2 o 1 where 1, 2 ∈ R
Therefore, the operation o is not commutative.
Let a, b, c ∈ R. Then, we have
(a o b) o c = a o c = a
a o (b o c) = a o b = a
⇒ (a o b) o c = a o (b o c)
Therefore, the operation o is associative.
Now, let a, b, c ∈ R, then we have
a * (b o c) = a * b = |a – b|
(a * b) o (a * c) = (|a – b|) o (|a – c|) = |a – b|
Hence a * (b o c) = (a * b) o (a * c)
Now, 1 o(2 * 3) = 1 o (|2 – 3|) = 1 o 1 = 1
(1 o 2) * (1 o 3) = 1 * 1 = |1 – 1|= 0
1 o (2 * 3) ≠ (1 o 2) * (1 o 3)
where 1, 2, 3 ∈ R Therefore, the operation o does not distribute over *.

Question 13.
Given a non-empty set X, let *: P(X) × P(X) → P(X) be defined as A * B – (A – B) ∪ (B – A), ∀ A, B ∈ P(X). Show that the empty set Φ is the identity for the operation * and all the elements A of P(X) are invertible with A^-1 = A.
[Hint: (A – Φ) ∪ (Φ – A) = A and (A – A) ∪ (A – A) = A * A = Φ]
Solution.
It is given that *: P(X) × P(X) → P(X) is defined as
A * B = (A – B) ∪ (B – A) ∀ A, B, ∈ P(X).
Let A ∈ P(X). Then, we have
A * (Φ) = (A – Φ) ∪ (Φ – A) = A ∪ Φ = A
Φ * A = (Φ – A) ∪ (A – Φ) = Φ ∪ A = A
A * Φ = A = Φ * A ∀ A ∈ P(X)
Thus, Φ is the identity element for the given operation *.
Now, an element A s P(X) will be invertible if there exists B ∈ P(X) such that
A * B = Φ = B * A. (As Φ is the identity element)
Now, we observed that
A * A = (A – A) ∪ (A – A) = Φ ∪ Φ = Φ ∀ A ∈ P(X).
Hence, all the elements A of P(X) are invertible with A^-1 = A.

Question 14.
Define a binary operation * on the set {0, 1, 2, 3, 4, 5) as
a * b =
Show that zero is the identity for this operation and each element a ≠ 0 of the set is invertible with 6 – a being the inverse of a.
Solution.
(i) e is the identity element if a * e = e * a = a
a * 0 = a + 0, 0 * a = 0 + a = a
⇒ a * 0 = 0 * a = a
∴ 0 is the identity of the operation.

(ii) b is the inverse of a if a * b = b * a = e
Now a * (6 – a) = a + (6 – a) – 6 = 0
(6 – a) * a = (6 – a) + a – 6 = 0
Hence, each element of a of the set is invertible with inverse.

Question 15.
Let A = {-1, 0, 1, 2}, B = {-4,-2, 0,2} and f, g: A → B be functions defined by f(x) = x² – x, x ∈ A and g(x) = 2|x – \(\frac{1}{2}\)| – 1, x ∈ A. Are f and g equal? Justify your answer.
[Hint: One may not be that two functions f: A → B and g: A → B
such that f(a) = g(a) ∀ a ∈ A, are called equal functions.]
Solution.
It is given that A = {- 1,0,1, 2}, B = {- 4, – 2, 0, 2).
Also, it is given that f, g: A → B are defined by f(x) = x² – x, x ∈ A and
g(x) = 2 |x – \(\frac{1}{2}\)| – 1, x ∈ A
It is observed that
f(- 1) = (- 1)² – (- 1) = 1 + 1 = 2
and g(- 1) = 2|(- 1) – \(\frac{1}{2}\)| – 1
= 2(\(\frac{3}{2}\)) – 1 = 3 – 1 = 2
⇒ f(- 1) = g(- 1)

⇒ f(0) = (0)² – 0 = 0
and g(0) = 2|0 – \(\frac{1}{2}\)|
= 2(\(\frac{3}{2}\)) – 1 = 1 – 1 = 0

⇒ f(0) = g(0)
f(1) = (1)² – 1 = 1 – 1 = 0
and g(1)= 2|1 – \(\frac{1}{2}\)|
= 2(\(\frac{1}{2}\)) – 1 = 1 – 1 = o

⇒ f(1) = g(1)
f(2) = (2)² – 2 = 4 – 2 = 2
and g(2) = 2 |2 – \(\frac{1}{2}\)|
= 2(\(\frac{3}{2}\)) – 1 = 3 – 1 = 2
⇒ f(2) = g(2)
∴ f(a) = g(a) ∀ a ∈ A
Hence, the functions f and g are equal.

Question 16.
Let A = {1, 2, 3}. Then, number of relations containing (1, 2) and (1, 3) which are reflexive and symmetric but not transitive, is
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
Solution.
This is because relation R is reflexive as (1, 1), (2, 2), (3, 3) ∈ R.
Relation R is symmetric since (1, 2), (2 ,1) ∈ R and (1, 3), (3, 1) ∈ R.
But relationR is not transitive as (3, 1), (1, 2) ∈ R but (3, 2) ∈ R.
Now, if we add any one of the two pairs (3, 2) and (2, 3) (or both) to relation R, then relation R will become transitive.
Hence, the total number of desired relation is one.
Thus, the correct option is (A).

Question 17.
Let A = {1, 2, 3}. Then, number of equivalence relations containing (1, 2) is
(A) 1
(B) 2
(C)3
(D) 4
Solution.
It is given that A = {1, 2, 3}
The smallest equivalence relation containing (1, 2) is given by,
R₁ = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}
Now, we are left with only four pairs i. e., (2, 3), (3, 2), (1, 3), and (3, 1).
If we add any one pair [say (2, 3)] to R₁ then for symmetry we must add (3, 2). Also, for transitivity, we are required to add (1, 3) and (3,1). Hence, the only equivalence relation (bigger than R₁) is the universal relation.
This shows that the total number of equivalence relations containing (1, 2) is two. The correct option is (B).

Question 18.
Let f: R → R be the signum function defined as
f(x) =
and g: R → R be the greatest integer function given by g(x) = [x], where [x] is greatest integer less than or equal to x. Then, does fog and gof coincide in (0, 1]?
Solution.
It is given that
f: R → R is defined as f(x) =
Also, g: R → R is defined as g(x) = [x], where [x] is the greatest integer less than or equal to x .
Now, let x ∈ (0, 1]
Then, we have
[x] = 1, if x = 1 and [x] = 0 if 0 < x < 1. ∴ fog(x) = f (g(x)) = f([x]) = gof(x) = g(f(x))= g(1) [∵ x > 0]
= [1] = 1 .
Thus, when x ∈ (0, 1), we have fog(x) = 0 and gof(x) = 1.
But fog (1) ≠ gof (1)
Hence, fog and gof do not coincide in (0,1].

Question 19.
Number of binary operations on the set {a, b} are (A) 10 (B) 16 (C) 20 (D) 8
Solution.
A binary operation * on {a, b} is a function from {a, b} × {a, b} → {a, b} i. e.,* is a function from {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)} → {a, b}.
Hence, the total number of binary operations on the set {a, b} is 2⁴ i.e. 16.
Thus, the correct option is (B).

Punjab State Board PSEB 12th Class Maths Book Solutions Chapter 1 Relations and Functions Ex 1.4 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 12 Maths Chapter 1 Relations and Functions Ex 1.4

Question 1.
Determine whether or not each of the definition of * given below gives a binary operation. In the event that * is not a binary operation, give justification for this.
(i) On Z⁺, define * by a * b = a – b
(ii) On Z⁺, define * by a * b = ab
(iii) On R, define * by a * b = ab²
(iv) On Z⁺, define * by a * b = |a – b|
(v) On Z⁺, define * by a * b = a
Sol.
(i) On Z⁺, * is defined by a * b = a – b.
It is not a binary operation as the image of (1, 2) under * is
1 * 2 = 1 – 2 = – 1 ∉ Z⁺.

(ii) On Z⁺, * is defined by a * b = ab.
It is seen that for each a, b ∈ Z⁺, there is a unique element ab in Z⁺.
This means that * carries each pair (a, b) to a unique element a * b = ab in Z⁺. Therefore, * is a binary operation.

(iii) On R, * is defined by a * b = ab².
It is seen that for each a, b ∈ R, there is a unique element ab² in R.
This means that * carries each pair (a, b) to a unique element a * b = ab² in R. Therefore, * is a binary operation.

(iv) On Z⁺, * is defined by a * b =|a – b|.
It is seen that for each a, b ∈ Z⁺, there is a unique element | a – b | in Z⁺. This means that * carries each pair (a, b) to a unique element a * b = |a – b|in Z⁺. Therefore, * is a binary operation.

(v) On Z⁺, * is defined by a * b = a.
It is seen that for each a, b ∈ Z⁺, there is a unique element a ∈ Z⁺. This means that * carries each pair (a, b) to a unique element a * b = a in Z⁺. Therefore, * is a binary operation.

Question 2.
For each operation * defined below, determine whether * is binary commutative or associative.
(i) On Z, define a* b = a – b
(ii) On Q, define a * b = ab + 1
(iii) On Q, define a* b = \(\frac{a b}{2}\)
(iv) On Z⁺, define a * b = 2^ab
(v) On Z⁺, define a * b = a^b
(vi) On R – {- 1},define a * b = \(\frac{a}{b+1}\)
Solution.
(i) On Z, operation * is defined as
(a) a * b = a – b
⇒ b * a = b – a
But a – b ≠ b – a
⇒ a * b ≠ b * a
∴ Defined operation is not commutative.

(b) a – (b – c) ≠ (a – b) – c
∴ Binary operation * as defined is not associative.

(ii) On Q, operation * is defined as a * b = ab +1
(a) ab + 1 = ba + 1, a * b = b * a
∴ Defined binary operation is commutative.

(b) a * (b * c) = a * (bc + 1) = a (bc + 1) + 1 = abc + a + 1
and (a * b)* c = (ab + 1) * c = (ab + 1)c + 1
= abc + c + 1
a * (b * c) ≠ (a * b) * c
∴ Binary operation defined is not associative.

(iii) (a) On Q, operation * is defined as a * b = \(\frac{ab}{2}\)
∴ a * b = b * a
∴ Operation binary defined is commutative.

(b) a * b = a * \(\frac{b c}{2}=\frac{a b c}{4}\)
and (a * b) * c = \(\frac{b c}{2}\) * c = \(\frac{a b c}{4}\)
⇒ Defined binary operation is associative.

(iv) On Z⁺, operation * is defined as a * b = 2^ab
(a) a * b = 2^ab, b * a = 2^ba = 2^ab
a * b = b * a
Binary operation defined is commutative.

(b) a * (b * c) = a * 2^ba = 2^{a . bc}
(a * b) * c = 2^ab * c = 2^2ab
Thus, (a * b) * c ≠ a * (b * c)
∴ Binary operation * as defined is not associative.

(v) On Z⁺, a * b = a^b
(a) b * a = b^a
∴ a^b = b^a
⇒ a * b ≠ b * a
* is not commutative.

(b) (a * b) * c = a^b * c
= (a^b)^c = a^bc
a * (b * c) = a * bc = a^bc.
This (a * b) * c ≠ (a * b * c)
∴ Operation * is not associative.

(vi) On Z⁺ operation * is defined as
a * b = \(\frac{a}{b+1}\), b ≠ – 1
∴ b * a = \(\frac{b}{a+1}\)
(a) a * b ≠ b * a
Binary operation defined is not commutative.

(b) (a * b) * c = \(a^{*}\left(\frac{b}{c+1}\right)=\frac{a}{\frac{b}{c+1}+1}=\frac{a(c+1)}{b+c+1}\)

(a * b) * c = \(\frac{a}{b+1} * c=\frac{\frac{a}{b+1}}{c+1}=\frac{a}{(b+1)(c+1)}\)

∴ a * (b * c) ≠ (a * b) * c
⇒ Binary operation defined above is not associative.

Question 3.
Consider the binary operation ^ on the set (1, 2, 3, 4, 5} defined by a ^ b = min {a, b}. Write the multiplication table of the operation ^.
Solution.
The binary operation ^ on the set {1, 2, 3, 4, 5} is defined as
a ^ b = min{a, b} for a, b ∈ {1, 2, 3, 4, 5}.
Thus, the operation table for the given operation ^ can be given as

Question 4.
Consider a binary operation * on the set {1, 2, 3, 4, 5} given by the following multiplication table.
(i) Compute (2 * 3) * 4 and 2 * (3 * 4)
(ii) Is * commutative?
(iii) Compute (2* 3) * (4* 5).
(Hint: use the following table) (i)

Solution.
(i) We have (2 * 3) *4 = 1 * 4 = 1
and 2 * (3 * 4) = 2 * 1 = 1

(ii) For every a, b ∈ (1, 2, 3, 4, 5}, we have a * b = b * a. Therefore, the operation * is commutative.
(iii) We have (2 * 3) = 1 and (4 * 5) = 1 .
∴ (2 * 3) * (4 * 5) = 1 * 1 = 1.

Question 5.
Let *’ be the binary operation on the set {1, 2, 3, 4, 5} is defined by a *’ b = H.C.F. of a and b. Is the operation *’ same as the operation * defined in Q. 4 above? Justify your answer.
Solution.
The binary operation *’ on the set {1, 2, 3, 4, 5} is defined as
a*’ b = HCF of a and b.
The operation table for the operation * can be given as :

We observe that the operation table for the operations * and *’ are the same.
Thus, the operation *’ is same as the operation *.

Question 6.
Let * be the binary operation on N given by a * b = L.C.M. of a and b.
(i) Find 5 * 7, 20 * 16
(ii) Is * commutative?
(iii) Is * associative?
(iv) Find the identity of * in N.
(v) Which elements of N are invertible for the operation *?
Solution.
The binary operation * defined as a * b = L.C.M. of a and b
(i) 5 * 7 = L.C.M. of 5 and 7 = 35
and 20 * 16 = L.C.M. of 20 and 16 = 80

(ii) a * b = L.C.M. of a and b
b * a = L.C.M. of b and a
⇒ a * b = b * a L.C.M. of a, b and b, a are equal
∴ Binary operation * is commutative.

(iii) a * (b * c) = L.C.M. of a, b, c
and (a * b)* c = L.C.M. of a, b, c
⇒ a * (b * c) = (a * b) * c
⇒ Binary operation * is associative.

(iv) Identity of * in N is 1
1 * a = a * 1 = a = L.C.M. of 1 and a.

(v) Let * : N × N → N defined as a * b = L.C.M. of (a, b)
For a = 1, b = 1, a * b = 1 = b * a. Otherwise a * b ≠ 1
∴ Binary operation * is not invertible.
⇒ 1 is invertible for operaiton *.

Question 7.
Is * defined on the set {1, 2, 3, 4, 5} by a * 6 = L.C.M. of a and 6 a binary operation? Justify your answer.
Solution.
The operation * on the set A = {1, 2, 3, 4, 5} is defined as a * b = L.C.M. of a and b.
Now, 2 * 3 = L.C.M. of 2 and 3 = 6.
But 6 does not belong to the given set.
Hence, the given operation * is not a binary operation.

Question 8.
Let * be the binary operation on N defined by a * 6 = H.C.F. of a and b. Is * commutative? Is * associative? Does there exist identity for this binary operation on N?
Solution.
The binary operation * on N is defined as a * b = H.C.F. of a and b It is known that
H.C.F. of a and b = H.C.F. of b and a V a, b ∈ N.
∴ a * b = b * a
Thus, the operation * is commutative.
For a, b, c ∈ N, we have
(a * b) * c = (H.C.F. of a and b) * c = H.C.F. of a, b and c
a * (b * c) = a * (H.C.F. of b and c) = H.C.F. of a, b, and c
∴ (a * b) * c = a* (b * c)
Thus, the operation * is associative.
Now, an element e ∈ N will be the identity for the operation * if a * e = a = e * a for ∀ a ∈ N.
But this relation is not true for any a ∈ N.
Thus, the operation * does not have any identity in N.

Question 9.
Let * be a binary operation on the set Q of rational numbers as
(i) a * b = a – b
(ii) a * b = a² + b²
(iii) a * b = a + ab
(iv) a * b = (a – b)²
(v) a * b = \(\frac{ab}{4}\)
(vi) a * b = ab²
Find which of the binary operations are commutative and which are associative.
Solution.
Operation is on the set Q.
(i) defined as a * b = a – b
(a) Now b * a = b – a But a – b *b – a
∴ a * b * b * a
∴ Operation * is not commutative.

(b) a* (b * c) = a * (b – c) = a – (b – c) = a – b + c
(a * b) * c = (a – b) * c = a – b – c
Thus, a * (b * c) ^ (a * b) * c
∴ The operation * as defined is not associative.

(ii) (a) a * b = a² + b²
b * a = b² + a² = a² + b²
∴ a * b = b * a
∴ This binary operation is commutative.

(b) a * (b * c) = a * (b² + c²)
= a² + (b² + c²)²
(a * b) * c = (a² + b²) * c = (a² + b²)² + c²
⇒ a * (b * c) * (a * b) * c
∴ The operation * given is not associative.

(iii) Operation * is defined as
a * b = a + ab
(a) b* a = b + ba
∴ a * b ≠ b * a
∴ This operation is not commutative.

(b) a * (b * c) = a * (b + bc)
= a + a(b + bc)
= a + ab + abc
(a* b) * c = (a + ab) *c = a + ab + (a + ab) . c
= a + ab + ac + abc
⇒ a* (b* c)& (a* b)* c
⇒ The binary operation is not associative.

(iv) The binary operation is defined as a * b = (a – b)²
(a) b * a = (b – a)² = (a – b)²
⇒ a * b = b * a
∴ This binary operation * is commutative.

(b) a * (b * c) = a * (b – c)²
= [a – (b – c)²]²
(a * b) * c = (a – b)² * c = [(a – b)² – c]²
⇒ (a * b) * c ≠ a * (b * c)
Thus, the operation given is associative.

(v) Binary operation is * defined as
a * b = \(\frac{ab}{4}\)

(a) b * a = \(\frac{ba}{4}\) = \(\frac{ab}{4}\)
a* b^b* a
∴ The operation is not commutative.

(b) a * (b * c) = a * \(\frac{bc}{4}\)
= \(\frac{a}{4}\left(\frac{b c}{4}\right)=\frac{a b c}{16}\)
(a * b) * c = \(\frac{ab}{4}\) * c
= \(\frac{a b}{4} \cdot \frac{c}{4}=\frac{a b c}{16}\)
⇒ a * (b* c) = (a * b) * c
Thus, the operation given is associative.

(vi) Binary operation is defined as
a * b = ab²
(a) b * a = ba² ≠ ab²
∴ a * b ≠ b * a
∴ The operation is not commutative.

(b) a * (b * c) = a * bc²
= a(bc²)²
= ab²c⁴
(a * b)* c = ab² * c
= (ab²)c²
= ab²c²
∴ a * (b * c) ≠ (a * b) * c
∴ Binary operation * given is not associative.

Question 10.
Find which of the operations given above has identity.
Solution.
An element e ∈ Q will be the identity element for the operation * if
a * e = a = e * a, ∀ a ∈ Q
(i) a * b = a – b
lf a * e = a, a ≠ 0
⇒ a – e = a, a ≠ 0 ⇒ e = 0
Also, e * a = a
⇒ e – a = a ⇒ e = 2 a
e = 0 = 2a, a ≠ 0
But the identity is unique. Hence this operation has no identity.

(ii) a * b = a² + b²
If a * e = a, then a² + e² = a
For a = – 2, (- 2)² + e² = 4 + e² ≠ – 2
Hence, there is no identity element.

(iii) a * b = a + ab
If a * e = a
⇒ a + ae a
⇒ ae = 0
⇒ e = 0, a ≠ 0
Also a * e = a
⇒ e + ae = a
⇒ e = \(\frac{a}{a+1}\), a ≠ 1
∴ e = 0 = \(\frac{a}{a+1}\), a ≠ 0
But the identity in unique. Hence this operation has no identify.

(iv) a * b = (a – b)²
If a* e = a, then (a – e)² = a.
A square is always positive, so for a = – 2, (- 2 – e)² ≠ – 2.
Hence, there is no identity element.

(v) a * b – ab/ 4
If a * e = a, then ae / 4 = a.
Hence, e = 4 is the identity element.
∴ a * 4 = 4 * a = 4a/4 = a.

(vi) a * b = ab²
If a * e = a
⇒ ae² = a
⇒ e² = 1
⇒ e = ±1
But identity is unique. Hence this operation has no identity.
Therefore only part (v) has an identity element.

Question 11.
Let A = N × N and * be the binary operation on A defined by (a, b) * (c, d) = (a + c, b + d). Show that * is commutative and associative. Find the identity element for * on A, if any.
Solution.
Given that A = N × N and * is a binary operation on A and is defined by (a, b) * (c, d) = (a + c,b + d.)
Let (a, b), (c, d) ∈ A
Then, a, b, c, d ∈ N
We have (a, b) * (c, d) = (a + c, b + d)
and (c, d) * (a, b) = (c + a, d + b) = (a + c, b + d)
[Addition is commutative in the set of natural numbers]
∴ (a, b) * (c, d) = (c, d) * (a, b)
Therefore, the operation * is commutative.
Now, let (a, b), (c, d), (e, f) ∈ A
Then, a, b, c, d, e, f ∈ N
We have {(a, b) * (c, d)} * (e, f) = (a + c,b + d) * (e, f)
= (a+ c + e, b + d + f)
(a, b) * ((c, d) * (e, f)) = (a, b) * (c + e, d + f) = (a + c + e, b + d + f)
((a, b) * (c, d)) * (e, f) = (a, b) * ((c, d) * (e, f))
Therefore, the operation * is associative.
An element e = (e₁, e₂) ∈ A will be an identity element for the operation * if
a * e = a = e * a ∀ a = (a₁, a₂) ∈ A, i.e., (a₁ + e₁, a₂ + e₂)
= (a₁, a₂) = (e₁ + a₁; e₂ + a₂)
which is not true for any element in A.
Therefore, the operation * does not have any identity element.

Question 12.
State whether the following statements are true or false. Justify.
(i) For an arbitrary binaiy operation * on a set N, a * a = a ∀ a ∈ N.
(ii) If * is a commutative binary operation on N, then a* (b* c) = (c * b) * a
Solution.
(i) Define an operation * on IV as a * b – a + b ∀ a, b ∈ N
Then, in particular, for b = a = 3, we have 3 * 3 = 3 + 3 = 6 ≠ 3
Therefore, statement (i) is false.

(ii) R.H.S. = (c * b) * a
= (b * c) * a [* is commutative]
= a * (b * c) [Again, as * is commutative]
= L.H.S.
∴ a * (b * c) = (c * b) * a
Therefore, statement (ii) is true.

Question 13.
Consider a binary operation * on N defined as a * b = a3 +b3. Choose the correct answer.
(A) Is * both associative and commutative?
(B) Is * commutative but not associative?
(C) Is * associative but not commutative?
(D) Is * neither commutative nor associative?
Solution.
On N, the operation * is defined as a * b = a³ + b³.
For, a, b ∈ N, we have
a * b = a³ + b³
= b³ + a³ = b * a [Addition is commutative in N]
Therefore, the operation * is commutative.
It can be observed that
(1 * 2) * 3 = (1³ + 2³) * 3 = 9 * 3
= 9³ + 3³
= 729 + 27 = 756

1 * (2 * 3) = 1 * (2³ +3³)
= 1 * (8 + 27) = 1 * 35
= 1³ + 35³
= 1 + (35)³
= 1 + 42875 = 42876
∴ (1 * 2) * 3 ≠ 1 * (2 * 3) where 1, 2, 3 ∈ N
Therefore, the operation * is not associative.
Hence, the operation * is commutative, but not associative.
Thus, the correct answer is (B).

Punjab State Board PSEB 12th Class Maths Book Solutions Chapter 1 Relations and Functions Ex 1.3 Textbook Exercise Questions and Answers.

PSEB Solutions for Class 12 Maths Chapter 1 Relations and Functions Ex 1.3

Question 1.
Let f:{1, 3, 4} → {1, 2, 5} and g:{ 1, 2, 5} → {1, 3} be given by f = {(1, 2), (3, 5), (4, 1)} and g = {(1, 3), (2, 3), (5,1)}. Write down gof.
Solution.
The functions f :{1, 3, 4} → {1, 2, 5} and g: {1, 2, 5} → {1, 3} are defined as f = {(1, 2), (3, 5), (4,1)} and g = {(1, 3), (2, 3), (5,1)}.
gof (1) = g(f(1)) = g(2) = 3 [∵ f(1) = 2 and g(2) = 3]
gof (3) = g(f(3)) = g(5) = 1 [∵ f(3) = 5 and g(5) = 1]
gof (4) = g(f(4)) = g(1) = 3 [∵ f(4) = 1 and g(1) = 3]
∴ gof = {(1,3), (3,1), (4, 3)}.

Question 2.
Let f, g and h be functions from R to R. Show that (f + g)oh = foh + goh (f . g)oh = (foh) (goh)
Solution.
To prove (f + g)oh = foh + goh Consider
((f + g)oh)(x) = (f + g)(h(x))
f(h(x)) + g(h(x)) = (foh)(x) + (goh)(x) = {{foh) + (goh)}(x)
((f + g)oh)(x) = {(foh) + (goh)} (x) ∀ x ∈ R
Hence, (f + g)oh = foh + goh.
To prove (f . g)oh = (foh) . (goh)
Consider
((f . g)oh) (x) = (f . g) (h(x)) = f(h(x)) . g(h(x))
= (foh)(x).(goh)(x)
= {(foh) . (goh)}(x)
∴ ((f . g)oh)(x) = {(foh) . (goh)}(x) ∀ x ∈ R
Hence, (f . g)oh = (/oh) . (goh)

Question 3.
Find gof and fog, if
(i) f(x) = |x| and g(x) = |5x – 2|
(ii) f(x) = 8x³ and g(x) = \(x^{\frac{1}{3}}\)
Solution.
(i) f(x) =|x| and g(x) = |5x – 2|
∴ (gof)(x) = g(f (x)) = g(| x |) =| 5| x | – 2 |
(fog(x)) = f(g(x)) = f(| 5x – 2 |) = | | 5x-2 || = |5x – 2|

(ii) f(x) = 8x³ and g(x) = \(x^{\frac{1}{3}}\)
∴ gof(x) = g(f(x))
= g(8x³)
= (8x³)^{\(\frac{1}{3}\)}
= 8x

(fog)(x) = f(g(x))
= f(\(x^{\frac{1}{3}}\))
= 8(\(x^{\frac{1}{3}}\))³
= 8x

Question 4.
If f(x) = \(\frac{(4 x+3)}{(6 x-4)}\), x ≠ \(\frac{2}{3}\) show that fof(x) = x for all x ≠ \(\frac{2}{3}\) What is the inverse of f?
Solution.
It is given that f(x) = \(\frac{(4 x+3)}{(6 x-4)}\), x ≠ \(\frac{2}{3}\)
(fof)(x) = f(f(x)) = f(\(\frac{(4 x+3)}{(6 x-4)}\))
= \(\frac{4\left(\frac{4 x+3}{6 x-4}\right)+3}{6\left(\frac{4 x+3}{6 x-4}\right)-4}\)
= \(\frac{16 x+12+18 x-12}{24 x+18-24 x+16}=\frac{34 x}{34}\) = x
Therefore, fof(x) = x, for all x ≠ \(\frac{2}{3}\).
⇒ fof = 1.
Hence, the given function f is invertible and the inverse of f is itself.

Question 5.
State with reason whether the following functions have inverse
(i) f: {1, 2, 3, 4} → {10} with  f = {(1, 10), <2,10), (8, 10), <4, 10)}
(ii) g: {5, 6, 7,8} → {1, 2, 3, 4,} with g = {(5, 4), (6,3), (7,4), (8, 2)}
(iii) h:{2, 3, 4, 5} → {7, 9, 11, 13} with h = {(2, 7), (3, 9), (4, 11), (5, 13)}.
Solution.
(i) Function f:{1, 2, 3, 4} {10} defined as
f = {(1,10), (2,10), (3,10), (4,10)}
From the given definition of f, we can see that f is a many-one function as:
f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = 10
∴ f is not one-one.
Hence, function f does not have an inverse.

(ii) Function g:{5, 6, 7,8} → {1,2, 3, 4,} defined as g = {(5, 4), (6, 3), (7, 4), (8, 2)}
From the given definition of g, it is seen that g is a many-one function as : g(5) = g(7) = 4.
∴ g is not one-one,
Hence, function g does not have an inverse.

(iii) Function h:{2, 3, 4, 5,} → {7, 9,11,13} defined as h = {(2, 7), (3, 9), (4,11), (5,13)}
It is seen that all distinct elements of the set {2, 3, 4, 5} have distinct images under h.
∴ Function h is one-one.
Also, h is onto since for every element y of the set {7, 9, 11, 13}, there exists an element x in the set {2, 3, 4, 5} such that h(x) = y.
Thus, h is a one-one and onto function. Hence, h has an inverse.

Question 6.
Show that f: [- 1,1] → R, given by f(x) = \(\frac{x}{x+2}\) is one-one. Find the inverse of the function f: [- 1, 1] → Range f.
[Hint : For y ∈ R Range f, y = f(x) = \(\frac{x}{x+2}\), for some x in [- 1, 1] i.e., x = \(\frac{2 y}{1-y}\)]
Solution.
f: [- 1, 1] → R, is given as f(x) = \(\frac{x}{x+2}\)
Let f(ix) = f(y).
⇒ \(\frac{x}{x+2}=\frac{y}{y+2}\)
⇒ 2x = 2y
⇒ x = y
∴ f is one-one function.
It is clear that f: [- 1,1] Range f is onto.
∴ f: [- 1, 1] → Range f is one-one and onto and therefore, the inverse of the function :
f: [- 1, 1] → Range f exists.
Let g: Range f → [- 1, 1] be the inverse of f.
Let y be an arbitrary element of range f.
Since, f: [- 1, 1] → Range f is onto , we have
y = f(x) for some x ∈ [- 1, 1]
⇒ y = \(\frac{x}{x+2}\)
⇒ xy + 2y = x
⇒ x(1 – y) = 2y
⇒ x = \(\frac{2 y}{1-y}\), y ≠ 1
Now, let us define g: Range f → [- 1, 1] as g(y) = \(\frac{2 y}{1-y}\), y ≠ 1.
Now, (gof)(x) = g(f(x))
= g(\(\frac{x}{x+2}\)) = \(\frac{2\left(\frac{x}{x+2}\right)}{1-\frac{x}{x+2}}\)
= \(\frac{2 x}{x+2-x}=\frac{2 x}{2}\) = x

(fog)(y) = f(g(y))
= f(\(\frac{2 y}{1-y}\)) = \(\frac{\frac{2 y}{1-y}}{\frac{2 y}{1-y}+2}\)
= \(\frac{2 y}{2 y+2-2 y}=\frac{2 y}{2}\) = y
∴ gof = I_{[- 1, 1]} and fog = I_{Range f}
∴ f^-1 = g
⇒ f^-1(y) = \(\frac{2 y}{1-y}\), y ≠ 1.

Question 7.
Consider f:R → R given by f(x) = 4x + 3. Show that f is invertible. Find the inverse of f.
Solution.
Here, f: R → R is given by f(x) = 4x +3
Let x, y ∈ R, such that
f(x) = f(y)
⇒ 4x + 3 = 4y + 3
⇒ 4x = 4y
⇒ x = y
Therefore, f is a one-one function. .
Let y = 4x +3
⇒ There exists, x = \(\frac{y-3}{7}\) ∈ R, ∀ y ∈ R
Therefore for any y ∈ R, there exists x = \(\frac{y-3}{4}\) ∈ R such that
f(x) = f(\(\frac{y-3}{4}\)) = 4 (\(\frac{y-3}{4}\)) + 3 = y
Therefore, f is onto function.
Thus, f is one-one and onto and therefore, f^-1 exists.
Let us define g: R → R by g(x) = \(\frac{x-3}{4}\)
Now, (gof)(x) = g(f(x)) = g(4x + 3)
= \(\frac{(4 x+3)-3}{4}\) = x

(fog)(y) = f(g(y))
= \(f\left(\frac{y-3}{4}\right)=4\left(\frac{y-3}{4}\right)\) + 3
= y – 3 + 3 = y
Therefore, gof = fog = I_R
Hence, f is invertible and the inverse of f is given by
f^-1 (y) = g(y) = \(\frac{y-3}{4}\)

Question 8.
Consider f: R → [4, ∞) given by f(x) = x² + 4 Show that f is invertible with the inverse f^-1 of f given by f^-1(y) = \(\sqrt{y-4}\), where R is the set of all non-negative real numbers.
Solution.
Function f: R₊ → [4, ∞) is given as f(x) = x² + 4.

One-one :
Let f(x) = f(y).
⇒ x² + 4 = y² + 4
⇒ x² = y²
⇒ x = y [as x = y ∈ R₊]
∴ f is one-one function.

Onto :
For y ∈ [4, ∞), let y = x² + 4.
⇒ x² = y – 4 ≥ 0 [as y ≥ 4]
⇒ x = \(\sqrt{y-4}\) > 0
Therefore, for any y ∈ R, there exists x = \(\sqrt{y-4}\) ∈ R such that
f(x) = f(\(\sqrt{y-4}\))
= (\(\sqrt{y-4}\))² + 4
= y – 4 + 4 = y
∴ f is onto.
Thus, f is one-one and onto and therefore, f^-1 exists.
Let us define g:[4, ∞) → R₊ by,
g(y) = \(\sqrt{y-4}\)
Now, gof (x) = g(f(x)) = g(x² + 4)
= \(\sqrt{\left(x^{2}+4\right)-4}=\sqrt{x^{2}}\) = x

and, fog(y) = f(g(y))
= f(\(\sqrt{y-4}\))
= \((\sqrt{y-4})^{2}+4\)
= (y – 4) + 4 = y
∴ gof = fog = I_R+
Hence, f is invertible and the inverse of f is given by
f^-1 (y) = g(y) = \(\sqrt{y-4}\)

Question 9.
Consider f: R → [- 5, ∞) given by f(x) = 9x² + 6x – 5. Show that f is invertible with f^-1 (y) = \(\left(\frac{(\sqrt{y+6}-1}{3}\right)\)
Solution.
f: R₊ → [- 5, ∞) is given as f(x) = 9x² + 6x – 5
Let y be an arbitrary element of (- 5, ∞)
Let y = 9x² + 6x – 5
y = (3x + 1)² – 1 – 5
= (3x + 1)² – 6
⇒ (3x + 1)² = y + 6
⇒ 3x + 1 = \(\sqrt{y+6}\) [as y ≥ – 5 ⇒ y + 6 > 0]
⇒ x = \(\frac{\sqrt{y+6}-1}{3}\)
∴ f is onto, thereby range f = [- 5, ∞]
Let us define g: [- 5, ∞) → R₊ as g(y) = \(\frac{\sqrt{y+6}-1}{3}\)
We now have :
(gof)(x) = g(f(x)) = g(9x² + 6x – 5) = g((3x +1)² – 6)
= \(\frac{\sqrt{(3 x+1)^{2}-6+6}-1}{3}=\frac{3 x+1-1}{3}\) = x
and, (fog)(y) = f(g(y))
= \(f\left(\frac{\sqrt{y+6}-1}{3}\right)=\left[3\left(\frac{(\sqrt{y+6})-1}{3}\right)+1\right]^{2}-6\)
= \((\sqrt{y+6})^{2}\) – 6 = y + 6 – 6 = y
∴ gof = I_R and fog = I_{[ – 5, ∞]}
Hence f is invertible and inverse of f is given by
f^-1(y) = g(y) = \(\frac{\sqrt{y+6}-1}{3}\)

Question 10.
Let f: X → Y be an invertible function. Show that f has unique inverse.
[Hint: Suppose g₁ and g₂ are two inverses of f. Then for all y ∈ Y, fog₁ (y) = 1, (y) = fog₂ (y). Use one-one ness of f].
Solution.
Let f: X → Y be an invertible function.
Also, suppose f has two inverses (say g₁ and g₂).
Then, for all y ∈ Y, we have
fog₁ (y) = I_y(y) = fog₂(y)
⇒ f(g₁(y)) = f(g₂(y))
⇒ g₁(y) = g₂(y) [f is invertible ⇒ f is one-one, g is one-one]
⇒ g₁ = g₂
Hence, f has a unique inverse.

Question 11.
Consider f: {1, 2, 3} → {a, b, c} given by f(1) = a, f(2) = b and f(3) = c. Find f^-1 and show that (f^-1)^-1 = f.
Solution.
Function f: {1,2, 3} → {a, b, c} is given by f(1) = a, f(2) = b and f(3) = c
If we define g :{a, b, c} → {1, 2, 3} as g(a) = 1, g(b) = 2, g(c) = 3, then we
(fog)(a) = f(g(a)) = f(1) = a
(fog)(b) = f(g(b) = f(2) = b
(fog)(c) = f(g(c)) = f(3) = c
(gof)(2) = g(f(2)) = g(b) = 2
(gof)(3) = g(f(3)) = g(c) = 3
∴ gof = I_X and fog = I_Y, where X = {1, 2, 3} and Y = {a, b, c}. Thus, the inverse of f exists and f^-1 = g.
∴ f^-1 : {a, b, c} → {1, 2, 3} is given by,
f^-1(a) = 1, f^-1(b) = 2, f^-1(c) = 3
Let us now find the inverse of f^-1 i.e., find the inverse of g.
If we define h:{ 1,2, 3} → {a, b, c} as h(1) = a, h(2) = b, h(3) = c, then we have
(goh)(1) = g(h(1l)) = g(a) = 1
(goh) (2) = g(h(2)) = g(b) = 2
(goh) (3) = g(h(3)) = g(c) = 3
and,(hog)(a) = h(g(a)) – h(1) = a
(hog) (b) = h(g(b)) = h(2) = b
(hog)(c) = h(g(c)) = h(3) = c
∴ goh = I_X and hog = I_Y, where X = {1, 2, 3} and Y = {a, b, c}.
Thus, the inverse of g exists and g^-1 = h
⇒ (f^-1)^-1 = h
It can be noted that h = f.
Hence, (f^-1)^-1 = f.

Question 12.
Let f: X → Y be an invertible function. Show that the inverse of f1 is f, i.e., (f ^-1)^-1 = f.
Solution.
Let f:X → Y be an invertible function.
Then, there exists a functiong:Y → X such that gof = I_X and fog – I_Y.
Here, f^-1 = g.
Now, gof = I_X and fog = I_Y
⇒ f^-1 = I_X and fof^-1 = I_Y
Hence, f^-1: Y → X is invertible and f is the inverse of f^-1 i-e., (f^-1)^-1 = f

Question 13.
If f : R → R be given by fix) = (3 – x³)^{\(\frac{1}{3}\)}, then fof(x) is
(A) x^{\(\frac{1}{3}\)}
(B) x³
(C) x
D) (3 – x³)
Solution.
Function f: R → R is given as f(x) = {3 – x³)^{\(\frac{1}{3}\)}; f(x) = (3 – x³)^{\(\frac{1}{3}\)}
∴ fof(x) = f(f(x)) = f(3 – x³)^{\(\frac{1}{3}\)}
= [3 – ((3 – x³)^{\(\frac{1}{3}\)})³]^{\(\frac{1}{3}\)}
= [3 – (3 – x³)]^{\(\frac{1}{3}\)}
= (x³)^{\(\frac{1}{3}\)} = x
∴ fof(x) = x
The correct answer is (C)

Question 14.
Let f: R – {- \(\frac{4}{3}\)} R be a function defined as f(x) = \(\frac{4 x}{3 x+4}\). The inverse of f is the map g: Range f → R given by
(A) g(y) = \(\frac{3 y}{3-4 y}\)

(B) g(y) = \(\frac{4 y}{4-3 y}\)

(C) g(y) = \(\frac{4 y}{3-4 y}\)

(D) g(y) = \(\frac{3 y}{4-3 y}\)
Solution.
Given that f : R – {- \(\frac{4}{3}\)} → R is a function defined as
f(x) = \(\frac{4 x}{3 x+4}\)
i.e., y = \(\frac{4 x}{3 x+4}\)
3 xy + 4y = 4x
4y = 4x – 3xy
4 y = x(4 – 3y)
x = \(\frac{4 y}{4-3 y}\)
∴ f^-1(y) = g(y) = \(\frac{4 y}{4-3 y}\)
The correct answer is (B).